Lecture 9 Convex 模型预测控制（MPC）

动机

前面花了两节来讲如何使用各种方法推导LQR问题的解。虽然LQR非常特殊（Cost必须得是二次的，系统方程必须得是线性的），但是即使对于非线性系统（如倒立摆），对于轨迹跟踪任务（对应TVLQR-时变LQR）或稳定任务（对应TILQR-时不变LQR），仍然可以在期望的轨迹处进行线性化，也可以取得不错的控制效果（因为控制率会倾向于让系统一直保持在线性化点附近）。

但是，经典LQR最大的问题就是，无法处理任何在状态 x x x或者输入 u u u上的约束，这会导致：

LQR输出的控制率给到执行器因为执行器饱和无法成功执行，影响系统精度
输出的控制指令太大使系统变得很“大起大落”，不安全
在某些场景中，如四旋翼，当控制指令太大时，如LQR输出一个很大的加速度，则对四旋翼来说意味着需要用一个较大的倾角去达到这个加速度，而简单的四旋翼控制往往是在悬停态线性化的，因此此时会使系统线性化的精度变得很差（离线性化的点太远），LQR输出的控制率不可行。

想要在LQR中加入约束处理的能力，难点有，

在Lecture 8的通过动态规划推导LQR的过程中，得知系统的LQR最优反馈控制率 u u u是由最小化系统的Cost-to-Go函数 V ( x ) V(x) V(x)得到的，这个过程我们实际上是对 V ( x ) V(x) V(x)对 u u u求梯度令其等于0，得到系统的 u u u，因此我们解的是一个不考虑 u u u约束的最小化 V V V的问题来得到 u u u，假如要解一个带 u u u约束的最小化问题，则，此问题无法写出解析解（因为在推导的过程也不知道实际的 u u u会是一个什么约束），也就无法进行下一步的迭代。因此，想要在DP或者Riccati迭代中处理 u u u的约束，是比较困难的（当然可以通过罚函数法或者增广拉格朗日法把约束变成Cost，后文DDP中会讲）。
在DP或者Riccati中，处理 x x x的约束就更难了， x x x在整个推导过程中，不像 u u u那样是直接解最优化方程得到的，而是解出 u u u之后再通过 x 1 x_1 x1前向rollout得到的，因此这个过程很不直接，想要约束 x x x难度更大
但是，假如通过QP来解LQR问题，关于LQR问题中的所有 x u x \ u x u的线性约束都可以转成标准的 C x ≤ d Cx \leq d Cx≤d的标准形式，这样仍然是一个标准的QP问题（虽然要在QP中处理约束了，但是还是有成熟的求解器，我们自己也可以基于增广拉格朗日实现简单的），在求解流程上并无区别。
因此，目前主流的Convex MPC都是通过转化成QP的形式，再利用QP形式KKT系统Hessian矩阵的稀疏性，加速QP过程的求解，也可以做到几千hz

基础概念

凸集（Convex Set）

凸集的定义：集合中任意两个点组成的线段上的点仍然在集合中。常见的凸集有，

线性子空间（ A x = b Ax=b Ax=b）
半空间（Half-spaces）、盒子（box）、多面体（Polytopes）（都可以表达成 A x ≤ b Ax \leq b Ax≤b）
椭球( x T P x ≤ 1 x^TPx \leq1 xTPx≤1)
锥体（cone）（ ∣ ∣ x 2 : n ∣ ∣ 2 ≤ x 1 ||x_{2:n}||_2 \leq x_1 ∣∣x2:n∣∣2≤x1，如 x 2 + y 2 < z \sqrt{x^2+y^2}<z x2+y2 <z）。当范数为二范数时，叫做二阶锥体。在机器人应用中，如火箭的推力约束，四足狗的摩擦锥约束，都可以表示成一个二阶锥约束。

Polytopes

cone

注意，对于一个等式约束来说，只有线性的等式约束才是凸集，二次的不是。如将机器人的动力学进行二阶泰勒展开后，则此时的 Δ \Delta Δ系统的等式约束并不是一个凸集。但是工程上可以通过一些trick把二次的等式约束转成不等式约束转化成凸集。

凸函数（Convex Function）

凸函数的定义就是，函数值上面的那一块（epigraph）是凸集。

ps：当我们讨论凸函数时，默认就是个因变量为标量的函数。

常见的凸函数有：

线性函数（ f ( x ) = c T x f(x) = c^T x f(x)=cTx）
二次函数（ f ( x ) = 1 2 x T Q x + q T x , ∋ Q ≥ 0 f(x) = \frac{1}{2} x^T Q x + q^T x, \ni Q \geq 0 f(x)=21xTQx+qTx,∋Q≥0）
范数（ f ( x ) = ∣ x ∣ f(x) = |x| f(x)=∣x∣），所有的范数都是凸函数

凸优化（Convex Optimazation）

凸优化的定义是，在一个凸集中优化一个凸函数。常见的凸优化问题有

线性规划LP（Linear Program）：线性的 f ( x ) f(x) f(x)，线性的 c ( x ) c(x) c(x)
二次规划QP（Quadratic Program）：二次的 f ( x ) f(x) f(x)，线性的 c ( x ) c(x) c(x)
二次约束二次规划QCQP（Quadratic Constraint Quadratic Program）：二次的 f ( x ) f(x) f(x)，二次的 c ( x ) c(x) c(x)
二阶锥规划SOCP（Second-order cone Program）：线性的 f ( x ) f(x) f(x)，二阶锥的 c ( x ) c(x) c(x)

老师说，program is an old school word in optimization.

凸优化的性质：

凸优化没有满足KKT条件的虚假（spurious）局部极小值点，在凸优化中假如找到了满足KKT条件的点，一定是全局最小值点。
在实践中，使用牛顿法可以很可靠和快速地迭代求解出凸优化问题（只要问题不太大，一般5-10次迭代）
凸优化问题可以从理论上保证一个 迭代收敛的时间上界。即，若一个最优控制问题的最终形式是一个凸优化问题，比如可以说，一定最多在50ms内就可以找到一个解，这与通用的非线性优化是不一样的，非线性优化无法bound solution time，可能会一直没有结果。

Convex MPC

再次强调，本节所讲的MPC更多的像是一种LQR，考虑从LQR的角度来加上约束，推导，带约束下的LQR该怎么才能取得一个好的控制率。回顾在DP中，假如通过Backward Pass求出所有无输入约束下的Cost-to-GO V ( x ) V(x) V(x)后，可以通过下式来不断前向rollout得到
u k = arg ⁡ min ⁡ u l ( x k , u ) + V k + 1 ( f ( x k , u ) ) = arg ⁡ min ⁡ u 1 2 u T R k u + 1 2 ( A k x k + B k u ) T P k + 1 ( A k x k + B k u ) (1) \begin{align} u_k &= \arg\min_u l(x_k, u) + V_{k+1}(f(x_k,u)) \\ &= \arg\min_u \frac{1}{2} u^TR_k u + \frac{1}{2} (A_k x_k + B_k u)^TP_{k+1}(A_k x_k + B_k u) \end{align}\tag{1} uk=arguminl(xk,u)+Vk+1(f(xk,u))=argumin21uTRku+21(Akxk+Bku)TPk+1(Akxk+Bku)(1)
那么，很自然地一个想法，可以在前向rollout求解这个最优化问题的过程中加入 u u u的约束，然后我再用QP或者增广拉格朗日法解出满足约束的 u u u，因为这个问题的自变量维度小，也可以很快迭代出结果。但是，这样做效果往往不太好，因为，实际上Backward pass求Cost-to-Go V ( x ) V(x) V(x)时，是没有考虑 u u u约束的，即，这个到终点的Cost函数，是不正确的。

这样做实际上是拿当前点的Cost-to-Go来evaluate控制u，在控制的开始阶段是不合理的（因为开始阶段误差很大，往往 u u u也很大），但是，随着控制的进行，在LQR控制器的作用下（无约束情况），控制的 u u u会越来越小，因此，可以假设，在一段时间之后，随着 u u u的变小， u u u会逐渐满足这种最大值限制，此时由Backward Pass所求得的 V ( x ) V(x) V(x) 会变得准确，我们利用这一点，把带约束的LQR问题写成如下形式，
min ⁡ x 1 : H , u 1 : H − 1 ∑ k = 1 H − 1 1 2 x k Q k x k + 1 2 u k T R k u k + x H T P x H ∋ x k ∈ X u k ∈ U (2) \begin{align} \min_{x_{1:H}, u_{1:H-1}} &\sum_{k=1}^{H-1} \frac{1}{2} x_k Q_k x_k + \frac{1}{2} u_k^T R_k u_k + x_H^T P x_H \\ \ \ni \ x_k &\in X \\ u_k &\in U \end{align}\tag{2} x1:H,u1:H−1min ∋ xkukk=1∑H−121xkQkxk+21ukTRkuk+xHTPxH∈X∈U(2)
这里我们在evaluate控制量 u u u时，我们使用之后 H H H步的 V ( x ) V(x) V(x)，其中 H < N H<N H<N叫做时间窗口（horizon）。

可以看出，当 H = N H=N H=N时，问题变成，用QP直接解带约束的Convex MPC问题，此时计算量较大
当 H = 1 H=1 H=1时，此时问题退化成无约束的LQR，通过这种方式求出的结果是不准的（因为 V n ( x ) = x n T P x n V_n(x)=x_n^TPx_n Vn(x)=xnTPxn不准）
H H H的值是一个由计算量和准确度所取的一个折衷（tradeoff）

平时在使用MPC时，我们更多的不是通过LQR的结果来确定的这个 V ( x ) V(x) V(x)，而是设置一个 Q f i n a l Q_{final} Qfinal，因为问题是使系统状态回到原点，因此，这也算是合理的，即，离原点越远，则Cost-to-Go x T Q f i n a l x x^TQ_{final}x xTQfinalx越大。所以一定要设置一个 Q f i n a l Q_{final} Qfinal，否则问题还是不太准。

案例分析

分析一个平面双旋翼系统，使该双旋翼系统到达特定的状态（如特定的位置）.
m x ¨ = − ( u 1 + u 2 ) sin ⁡ ( θ ) m y ¨ = ( u 1 + u 2 ) cos ⁡ ( θ ) − m g J θ ¨ = 1 2 l ( u 2 − u 1 ) (3) \begin{align} m \ddot x &= -(u_1 + u_2) \sin(\theta) \\ m \ddot y &= (u_1 + u_2) \cos(\theta) - mg \\ J \ddot \theta &= \frac{1}{2} l (u_2 - u_1) \end{align}\tag{3} mx¨my¨Jθ¨=−(u1+u2)sin(θ)=(u1+u2)cos(θ)−mg=21l(u2−u1)(3)
这是个非线性系统（系统动力学存在 u u u与 x x x的耦合），将飞机在悬停状态线性化此时有条件 θ = 0 , u 1 = u 2 = 1 2 m g \theta=0, \ u_1=u_2=\frac{1}{2}mg θ=0, u1=u2=21mg，并假设飞机一直在小角度附近运动，即 θ ≈ 0 \theta \approx 0 θ≈0（在悬停态线性化并不意味着飞机会一直处于这种状态，只是说我们假设飞机一直在悬停态附近运动，飞机仍然可以有 Δ u ， Δ θ \Delta u，\Delta \theta Δu，Δθ 此时线性化的模型是较准的）,对线性化的模型离散化后进行LQR和MPC控制。
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 172: …&\approx \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲f_1(x,y,\theta,…

因为系统方程对状态 x , y x,y x,y的导数都为0，在推导中省略了

由于此时问题不再是回到原点，而是到达任意一个状态 x r e f x_{ref} xref，因此式子(2)变为
min ⁡ x 1 : H , u 1 : H − 1 ∑ k = 1 H − 1 [ 1 2 ( x k − x r e f ) T Q k ( x k − x r e f ) + 1 2 u k T R k u k ] + ( x H − x r e f ) T P ( x H − x r e f ) = min ⁡ x 1 : H , u 1 : H − 1 ∑ k = 1 H − 1 [ 1 2 x k T Q k x k + 1 2 u k T R k u k − ( Q k x r e f ) T x k ] + x H T P x H − ( Q H x r e f ) T x H x m i n ≤ x ≤ x m a x u m i n ≤ u ≤ u m a x (5) \begin{align} \min_{x_{1:H}, u_{1:H-1}} &\sum_{k=1}^{H-1} [\frac{1}{2} (x_k-x_{ref})^T Q_k (x_k-x_{ref}) + \frac{1}{2} u_k^T R_k u_k] + (x_H-x_{ref})^T P (x_H-x_{ref}) \\ = \min_{x_{1:H}, u_{1:H-1}} &\sum_{k=1}^{H-1} [\frac{1}{2} x_k^T Q_k x_k + \frac{1}{2} u_k^T R_k u_k - (Q_kx_{ref})^Tx_k] + x_H^T P x_H - (Q_Hx_{ref})^Tx_H \\ &x_{min}\leq x \leq x_{max} \ \ u_{min}\leq u \leq u_{max} \end{align}\tag{5} x1:H,u1:H−1min=x1:H,u1:H−1mink=1∑H−1[21(xk−xref)TQk(xk−xref)+21ukTRkuk]+(xH−xref)TP(xH−xref)k=1∑H−1[21xkTQkxk+21ukTRkuk−(Qkxref)Txk]+xHTPxH−(QHxref)TxHxmin≤x≤xmax umin≤u≤umax(5)
依旧是可以转化成标准的QP问题（这里 Q k = Q R k = R Q_k=Q \ R_k=R Qk=Q Rk=R）。像上一节所做，我们把决策变量堆在一起成 z z z。

在求解问题时，用的是OSQP，取 N = 20 N=20 N=20,因为 d i m ( x ) = 6 d i m ( u ) = 2 dim(x)=6 \ dim(u)=2 dim(x)=6 dim(u)=2（实际上 x x x由 x 2 x_2 x2到 x 21 x_{21} x21是决策变量， u u u由 u 1 u_1 u1到 u 2 0 u_20 u20是决策变量），所以优化变量一共是160维。

由于OSQP只存在不等式约束 l o w e r ≤ D z ≤ u p p e r lower \leq Dz\leq upper lower≤Dz≤upper，因此所有等式约束都要转化成一个不等式约束，其中 l o w e r = u p p e r lower=upper lower=upper。
z = [ u 1 x 2 u 2 . . u 20 x 21 ] ∈ R 160 (5) \begin{align} z = \begin{bmatrix} u_1 \\ x_2 \\ u_2 \\ . \\ . \\ u_{20}\\ x_{21} \end{bmatrix} \in \mathbb R^{160} \end{align}\tag{5} z= u1x2u2..u20x21 ∈R160(5)

H = [ R 0 . . . 0 . 0 0 0 Q . . . 0 . 0 0 . 0 0 . . . Q . 0 0 . . . . . . . . 0 0 0 . . . 0 . R 0 0 0 . . . 0 . 0 P ] ∈ R 160 × 160 (6) \begin{align} H = \begin{bmatrix} R & 0 & ... & 0 & . & 0 & 0\\ 0 & Q & ... & 0 & . & 0& 0\\ \ & \ & . & \ \\ 0 & 0 & ... & Q &. & 0& 0\\ . & . & ... & . &. & . & 0\\ 0 & 0 & ... & 0 &. & R& 0\\ 0 & 0 & ... & 0 &. & 0& P \end{bmatrix} \in \mathbb R^{160 \times 160} \end{align}\tag{6} H= R0 0.000Q 0.00...................00 Q.00......000.R000000P ∈R160×160(6)

其中，约束共有120个状态的等式约束（每条 x k + 1 = A k x k + B u k x_{k+1}=A_kx_k+Bu_k xk+1=Akxk+Buk可以提供 d i m ( x ) dim(x) dim(x)个约束），40个关于输入 u u u的约束（ u u u一共有40个，其中 S u ∈ R 40 × 160 S_u \in \mathbb R^{40 \times 160} Su∈R40×160是选择矩阵，使得 S u z = u S_uz=u Suz=u），20个关于状态 θ \theta θ的约束（其中 S θ ∈ R 20 × 160 S_\theta \in \mathbb R^{20 \times 160} Sθ∈R20×160是选择矩阵，使得 S θ z = θ S_\theta z=\theta Sθz=θ）

在本问题中，轨迹上x(t) 所有点的参考值都是最终的那个目标点，而在作业HW2中，从起点到终点线性插值了一个函数，以插值后的函数用时间索引作为x(t)的参考。并且，问题的规模是一直不变的，一直会从当前时间对应的t往后走N步，就算到了终点也会继续往后，直到收敛。

代码部分：动力学

#Planar Quadrotor Dynamics
function quad_dynamics(x,u) #非线性动力学θ = x[3]ẍ = (1/m)*(u[1] + u[2])*sin(θ)ÿ = (1/m)*(u[1] + u[2])*cos(θ) - gθ̈ = (1/J)*(ℓ/2)*(u[2] - u[1])   # J是转动惯量，l是飞机轴距return [x[4:6]; ẍ; ÿ; θ̈]
end
function quad_dynamics_rk4(x,u)#RK4 integration with zero-order hold on uf1 = quad_dynamics(x, u)f2 = quad_dynamics(x + 0.5*h*f1, u)f3 = quad_dynamics(x + 0.5*h*f2, u)f4 = quad_dynamics(x + h*f3, u)return x + (h/6.0)*(f1 + 2*f2 + 2*f3 + f4)
end
x_hover = zeros(6) #状态包括x y θ以及它们的导数 线性化的点是全0点，所以lb=ub=-A(x-x_linear)=-Ax
u_hover = [0.5*m*g; 0.5*m*g]   #悬停态条件
A = ForwardDiff.jacobian(x->quad_dynamics_rk4(x,u_hover),x_hover);  #代码中投了懒，用自动微分代替了我们手算
B = ForwardDiff.jacobian(u->quad_dynamics_rk4(x_hover,u),u_hover);  #而且它是离散化后再做的线性化
quad_dynamics_rk4(x_hover, u_hover)

控制器代码

#Build QP matrices for OSQP
Nh = 20 #one second horizon at 20Hz horizon决定QP子问题的维度
Nx = 6  #状态维度   #
Nu = 2  #输入维度   #
U = kron(Diagonal(I,Nh), [I zeros(Nu,Nx)])  #选择矩阵S_u 40*160
Θ = kron(Diagonal(I,Nh), [0 0 0 0 1 0 0 0]) #选择矩阵S_θ 20*160
H = sparse([kron(Diagonal(I,Nh-1),[R zeros(Nu,Nx); zeros(Nx,Nu) Q]) zeros((Nx+Nu)*(Nh-1), Nx+Nu); zeros(Nx+Nu,(Nx+Nu)*(Nh-1)) [R zeros(Nu,Nx); zeros(Nx,Nu) P]])
b = zeros(Nh*(Nx+Nu))   #闭环部分会置为-Qx_ref。对应QP中的线性Cost
C = sparse([[B -I zeros(Nx,(Nh-1)*(Nu+Nx))]; zeros(Nx*(Nh-1),Nu) [kron(Diagonal(I,Nh-1), [A B]) zeros((Nh-1)*Nx,Nx)] + [zeros((Nh-1)*Nx,Nx) kron(Diagonal(I,Nh-1),[zeros(Nx,Nu) Diagonal(-I,Nx)])]])
# C矩阵对应公式中D的上半部分，表示系统方程约束
#Dynamics + Thrust limit constraints
D = [C; U]  # D大矩阵，表示所有的等式与不等式约束
lb = [zeros(Nx*Nh); kron(ones(Nh),umin-u_hover)]    #前面120维是系统等式约束，上下界一样
ub = [zeros(Nx*Nh); kron(ones(Nh),umax-u_hover)]    #后面40维是系统输入约束，有上下界#Dynamics + thrust limit + bound constraint on θ to keep the system within small-angle approximation
#D = [C; U; Θ]
#lb = [zeros(Nx*Nh); kron(ones(Nh),umin-u_hover); -0.2*ones(Nh)]
#ub = [zeros(Nx*Nh); kron(ones(Nh),umax-u_hover); 0.2*ones(Nh)]prob = OSQP.Model()
OSQP.setup!(prob; P=H, q=b, A=D, l=lb, u=ub, verbose=false, eps_abs=1e-8, eps_rel=1e-8, polish=1);#MPC Controller
function mpc_controller(t,x,xref)#Update QP problemlb[1:6] .= -A*x #每一次都把QP的初始状态给更新到当前状态ub[1:6] .= -A*x   #因为线性化点是全0点，所以减不减是一样的for j = 1:(Nh-1)b[(Nu+(j-1)*(Nx+Nu)).+(1:Nx)] .= -Q*xref   #更新QP中的线性项endb[(Nu+(Nh-1)*(Nx+Nu)).+(1:Nx)] .= -P*xref  # 轨迹上所有点的目标都是最终的那个位置OSQP.update!(prob, q=b, l=lb, u=ub)#Solve QPresults = OSQP.solve!(prob)Δu = results.x[1:Nu]    #只取第一个u作为系统控制的u，下一次u重新算return u_hover + Δu
end#闭环MPC控制器
function closed_loop(x0,controller,N)xhist = zeros(length(x0),N)u0 = controller(1,x0)uhist = zeros(length(u0),N-1)uhist[:,1] .= u0xhist[:,1] .= x0for k = 1:(N-1)uk = controller(k,xhist[:,k])uhist[:,k] = max.(min.(umax, uk), umin) #enforce control limitsxhist[:,k+1] .= quad_dynamics_rk4(xhist[:,k],uhist[:,k])endreturn xhist, uhist
end

结果：

终止状态我们固定为[0.0; 1.0; 0; 0; 0; 0]，分别选取其初始状态[2.0,1.0,0,0,0,0]和[5,2,0,0,0,0]，对该无人机进行LQR和MPC的期望状态跟踪，仿真结果如下。

可以看出，在位置近时，由于LQR和MPC本身不会产生太大的输入 u u u不会违反约束，因此系统都能够很好地跟踪，但是当初始位置离期望位置远地时候，LQR的跟踪结果是发散的，从动图可以看出，因为在使用了LQR输出了一个非常大的u（虽然我们在代码中限制chop了 u u ud的最大和最小值），因为Chop之后造成控制器输出与实际执行不服合，系统发散，而使用MPC则可以很好地解决这个问题。

并且，在给MPC加了倾角 θ \theta θ的最大约束后，可以看出，整个位置跟踪过程飞机可以很好地保持在限制的角度内，虽然速度较慢，但是此时系统离悬停态更近，我们的线性化模型更准，更安全。

初始位置近时状态轨迹

初始位置近时输入轨迹

初始位置远时状态轨迹

初始位置远时输入轨迹

初始位置近时仿真	初始位置远时LQR
初始位置远时MPC	初始位置远，状态约束MPC

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