【附C++源代码】模型预测控制(MPC)公式推导以及算法实现，Model Predictive control介绍

2022年的第一篇博客，首先祝大家新年快乐！

提示：本篇博客主要集中在对MPC的理解以及应用。这篇博客可以作为你对MPC控制器深入研究的一个开始，起到抛砖引玉，带你快速了解其原理的作用。

这篇博客将介绍一下模型预测控制器(MPC)的公式、推导以及C++代码的实现。

主要内容如下：

从一个简单的线性系统开始，对MPC控制器公式进行推导；
根据推导出来的结论，对一个具体的系统进行控制，使用C++对MPC进行实现；
通过实验找到参数对该系统的影响。

1. 模型预测控制(MPC)公式推导

(1). 系统方程建模
假设，我们有以下的一个线性离散系统：

xk+1=Axk+Buk(1)\pmb{x_{k+1}} = \pmb A \pmb{x_k} + \pmb B \pmb{u_k} \tag{1} xk+1xk+1xk+1=AAAxkxkxk+BBBukukuk(1)

其中，x\pmb xxxx是系统的状态变量；u\pmb uuuu是对系统控制的输入量；A,B\pmb A,BAAA,B均为定值矩阵，用来对状态和控制量进行转换。

上式（1）是状态的一步传递。

假设我们以状态xk,k\pmb x_{k,k}xxxk,k为基础，然后以控制量uk,k\pmb u_{k,k}uuuk,k，带入式子（1）将计算得到xk+1,k\pmb x_{k+1,k}xxxk+1,k，然后再将计算出来的xk+1,k\pmb x_{k+1,k}xxxk+1,k和uk+1,k\pmb u_{k+1,k}uuuk+1,k带入（1）式，又得到了xk+2,k\pmb x_{k+2,k}xxxk+2,k，以此类推，就可以得到在kkk时刻的时候，对未来NNN个状态的预测。

为了方便大家的理解，我把上述过程通过公式的方式写出来：
xx,x=I∗xx,x+0∗uk,kxx+1,x=A∗xx,x+B∗uk,kxx+2,x=A∗xx+1,x+B∗uk+1,k=A∗(A∗xx,x+B∗uk,k)+B∗uk+1,k⋮xx+N,x=ANxk,k+AN−1Buk,k+AN−1Buk+1,k+⋯(3)\pmb x_{x,x} = \pmb I* \pmb x_{x,x} + \pmb 0 * \pmb u_{k,k} \\ \pmb x_{x+1,x} = \pmb A* \pmb x_{x,x} + \pmb B * \pmb u_{k,k} \\ \pmb x_{x+2,x} = \pmb A* \pmb x_{x+1,x} + \pmb B * \pmb u_{k+1,k} = \pmb A* (\pmb A* \pmb x_{x,x} + \pmb B * \pmb u_{k,k}) + \pmb B * \pmb u_{k+1,k} \\ \vdots \\ \pmb x_{x+N,x} = \pmb A^{N} \pmb x_{k,k} + \pmb A^{N-1} \pmb B \pmb u_{k,k} + \pmb A^{N-1} \pmb B u_{k+1, k} + \cdots \tag{3} xxxx,x=III∗xxxx,x+000∗uuuk,kxxxx+1,x=AAA∗xxxx,x+BBB∗uuuk,kxxxx+2,x=AAA∗xxxx+1,x+BBB∗uuuk+1,k=AAA∗(AAA∗xxxx,x+BBB∗uuuk,k)+BBB∗uuuk+1,k⋮xxxx+N,x=AAANxxxk,k+AAAN−1BBBuuuk,k+AAAN−1BBBuk+1,k+⋯(3)

上述过程中的控制量uk\pmb u_kuuuk很关键，只有知道了它的值，我们才能使用上面的过程进行状态的预测。而这个uk\pmb u_kuuuk便是我们通过MPC求解得到的。

我们将上述的（3）式写成一个向量和矩阵的形式，则如下：

[xk,kxk+1,kxk+2,k⋮xk+N,k]=[IAA2⋮AN]xk+[00⋯0B0⋯0ABB⋯0AN−1NAN−2⋯B][uk,kuk+1,kuk+2,k⋮uk+N−1,k](4)\left[ \begin{matrix} \pmb x_{k,k} \\ \pmb x_{k+1,k} \\ \pmb x_{k+2,k} \\ \vdots \\ \pmb x_{k+N,k} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \pmb I \\ \pmb A \\ \pmb A^2 \\ \vdots \\ \pmb A^N \end{matrix} \right] \pmb x_k + \left[ \begin{matrix} \pmb 0 & \pmb 0 & \cdots & \pmb 0 \\ \pmb B & \pmb 0 & \cdots & \pmb 0 \\ \pmb A \pmb B & \pmb B & \cdots & \pmb 0 \\ \pmb A^{N-1} \pmb N & \pmb A^{N-2} & \cdots & \pmb B \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \pmb u_{k,k} \\ \pmb u_{k+1,k} \\ \pmb u_{k+2,k} \\ \vdots \\ \pmb u_{k+N-1,k} \end{matrix} \right] \tag{4} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡xxxk,kxxxk+1,kxxxk+2,k⋮xxxk+N,k⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡IIIAAAAAA2⋮AAAN⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤xxxk+⎣⎢⎢⎡000BBBAAABBBAAAN−1NNN000000BBBAAAN−2⋯⋯⋯⋯000000000BBB⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡uuuk,kuuuk+1,kuuuk+2,k⋮uuuk+N−1,k⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤(4)

将上式进一步简写得到：
Xk=Mxk+CUk(5)\pmb X_k = \pmb M \pmb x_k + \pmb C \pmb U_k \tag{5} XXXk=MMMxxxk+CCCUUUk(5)

在此，再次强调，式子（5）是通过kkk时刻的已知状态xk\pmb x_kxxxk，通过NNN个控制量uk+i,k\pmb u_{k+i,k}uuuk+i,k对未来的NNN个状态进行预测而得到的，务必要理解这一点。

(2).构建误差函数

想象一下，我们有了对未来的NNN个预测状态，xk,k\pmb x_{k,k}xxxk,k、xk+1,k\pmb x_{k+1,k}xxxk+1,k、xk+2,k\pmb x_{k+2,k}xxxk+2,k、xk+3,k\pmb x_{k+3,k}xxxk+3,k …

而在多数的控制任务中，我们同样也有一串连续的已知参考状态，rk\pmb r_{k}rrrk、rk+1\pmb r_{k+1}rrrk+1、rk+2\pmb r_{k+2}rrrk+2、rk+3\pmb r_{k+3}rrrk+3 …

对于控制任务，控制器要做的就是通过对系统输入控制量，从而使得状态接近参考状态。

这样说可能有一些抽象，我们以一个一维的直线跟踪为例子，通过图示进行解释：

上图xxx轴为要跟踪的参考直线，我们以窗口N=6进行状态量预测，得到在kkk时刻的6个预测量，如上图中的红点所示，各个预测量对应的参考量为x轴的蓝点。

很明显，当红点与对应的蓝点之间的距离越接近的时候，控制的效果肯定就是越好。按照这个思路，我们可以将控制过程，写成一个代价函数，然后通过优化的方式进行求解。

假设我们的参考状态始终为r=[0,0]\pmb r = [0,0]rrr=[0,0]，那么每一个预测状态的误差就为e=xk,k−rk=xk,ke = \pmb x_{k,k} - \pmb r_{k} = \pmb x_{k,k}e=xxxk,k−rrrk=xxxk,k。类似的可以写出整个窗口之内的误差为：

J=xk+N,kTFxk+N,k+∑i=0N−1xk+i,kTQxk+i,k(6)\pmb J = \pmb x_{k+N, k}^T \pmb F \pmb x_{k+N, k} + \sum_{i=0}^{N-1} \pmb x_{k+i, k}^T \pmb Q \pmb x_{k+i, k} \tag{6} JJJ=xxxk+N,kTFFFxxxk+N,k+i=0∑N−1xxxk+i,kTQQQxxxk+i,k(6)

上式（6）中的F\pmb FFFF和Q\pmb QQQQ分别表示误差的权重，它们都为对角矩阵，其中的数值越大，在优化的时候就越倾向于将当前这个式子的值减少的越多。

式子（6）中只是对状态的误差进行优化，这似乎有一些不合理，因为这完全没有考虑到控制量，如果将控制量也加入到（6）式中，可以得到：

J=xk+N,kTFxk+N,k+∑i=0N−1(xk+i,kTQxk+i,k+uk+i,kTRuk+i,k)(7)\pmb J = \pmb x_{k+N, k}^T \pmb F \pmb x_{k+N, k} + \sum_{i=0}^{N-1} (\pmb x_{k+i, k}^T \pmb Q \pmb x_{k+i, k} + \pmb u_{k+i,k}^T \pmb R \pmb u_{k+i,k})\tag{7} JJJ=xxxk+N,kTFFFxxxk+N,k+i=0∑N−1(xxxk+i,kTQQQxxxk+i,k+uuuk+i,kTRRRuuuk+i,k)(7)

因此就得到了完整的误差函数J\pmb JJJJ，我们的目的是通过优化（7）式，得到使整个误差函数最小的控制量u\pmb uuuu.

以上过程牵扯到一些最优化的思想，如果你觉得难以理解，可以看一些优化相关的理论。

为了计算方便，将（7）式子写成矩阵的形式：

J=xkTGxk+UkTHUk+2UkTExk(8)J = \pmb x_k^T \pmb G\pmb x_k + \pmb U_k^T \pmb H \pmb U_k + 2\pmb U_k^T \pmb E \pmb x_k \tag{8} J=xxxkTGGGxxxk+UUUkTHHHUUUk+2UUUkTEEExxxk(8)

其中：G=MTQ‾M\pmb G = \pmb M^T \overline{\pmb{Q}}\pmb MGGG=MMMTQQQMMM，E=CTQ‾M\pmb E = \pmb C^T \overline{\pmb{Q}}\pmb MEEE=CCCTQQQMMM，H=CTQ‾CR‾\pmb H = \pmb C^T \overline{\pmb{Q}}\pmb C \overline{\pmb{R}}HHH=CCCTQQQCCCRRR

Q‾=[Q0⋯000Q⋯00Q⋯⋮⋮⋮⋱000⋯F]\overline{\pmb{Q}} = \left[ \begin{matrix} \pmb Q & \pmb 0 & \cdots & \pmb 0 & \pmb 0 \\ \pmb 0 & \pmb Q & \cdots \\ \pmb 0 & \pmb 0 & \pmb Q & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \pmb 0 & \pmb 0 & \pmb 0 & \cdots & \pmb F \\ \end{matrix} \right]QQQ=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡QQQ000000⋮000000QQQ000⋮000⋯⋯QQQ⋮000000⋯⋱⋯000FFF⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

R‾=[R0⋯000R⋯00R⋯⋮⋮⋮⋱000⋯R]\overline{\pmb{R}} = \left[ \begin{matrix} \pmb R & \pmb 0 & \cdots & \pmb 0 & \pmb 0 \\ \pmb 0 & \pmb R & \cdots \\ \pmb 0 & \pmb 0 & \pmb R & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \pmb 0 & \pmb 0 & \pmb 0 & \cdots & \pmb R \\ \end{matrix} \right]RRR=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡RRR000000⋮000000RRR000⋮000⋯⋯RRR⋮000000⋯⋱⋯000RRR⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(3).代价函数求解
对于式子（7）它是一个典型的二次规划问题，它是一个高维度的凸函数，它有且只有一个极值点，并且还是它的最小值。对于最小值的求解可以使用现成的优化库，例如OSQP等等进行求解。

式子（7）是一个无约束的最优化问题，也可以直接求导，导数为零的点即为最优控制量。也就是（7）式的最优解为：
U∗=H−1(−E∗xk)(9)\pmb U^* = \pmb H^{-1} (-\pmb E * \pmb x_k) \tag{9} UUU∗=HHH−1(−EEE∗xxxk)(9)

(4).如何使用控制量U∗U^*U∗

通过（9）式子，得到了NNN个预测的控制量，但是实际使用的时候，只取第一个控制量，作为kkk时刻的控制量。然后计算得到K+1K+1K+1时刻的状态，再以k+1k+1k+1时刻的状态，重复上述过程进行预测控制的计算。

2.具体例子以及代码实现

为了更方便的理解上面的过程，我引入一个实际的例子。

首先对公式（1）进行实例化，得到如下具体系统：

xk+1=Axk+Buk\pmb{x_{k+1}} = \pmb A \pmb{x_k} + \pmb B \pmb{u_k} xk+1xk+1xk+1=AAAxkxkxk+BBBukukuk

[x1,k+1x2,k+1]=[10.102][x1,kx2,k]+[00.5]∗uk(10)\left[\begin{matrix} x_{1,k+1} \\ x_{2,k+1} \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 1 & 0. 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_{1,k} \\ x_{2,k} \end{matrix}\right]+ \left[\begin{matrix} 0 \\ 0.5 \end{matrix}\right] * \pmb u_k \tag{10} [x1,k+1x2,k+1]=[100.12][x1,kx2,k]+[00.5]∗uuuk(10)

并且，假设系统的预测区间N=3N=3N=3

对应的Q\pmb QQQQ、R\pmb RRRR、F\pmb FFFF矩阵分别如下：

Q=[1001]\pmb Q = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] QQQ=[1001]

F=[2002]\pmb F = \left[\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right] FFF=[2002]

R=[0.1]\pmb R = \left[\begin{matrix} 0.1 \end{matrix}\right] RRR=[0.1]

初始状态为：
xinit=[55]\pmb x_{init} = \left[\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}\right] xxxinit=[55]

将上面的几个参数值代入到第1节中的公式（4）（5）（8）中，构建所需要的大矩阵，然后使用（9）式即可完成最优控制量的求解。

* 有一点再次强调，计算出来的控制量一共N个，但是我们只取第一个作为当前时刻的控制量，然后传入控制系统中。

如果大家对于矩阵的应用不是很熟悉，可能在计算每个矩阵维度的时候，会有一些困难。为了大家的理解，我把（10）所示的系统，在预测窗口N=3N=3N=3时的各个矩阵的维度都列出来，方便代价在推导公式的时候，进行验证。
Q\pmb QQQQ：2x2
F\pmb FFFF：2x2
R\pmb RRRR：1x1
xk\pmb x_kxxxk：2x1
A\pmb AAAA：2x2
B\pmb BBBB：2x1
M\pmb MMMM：8x2
C\pmb CCCC：8x3
Q‾\overline{\pmb Q}QQQ：8x8
R‾\overline{\pmb R}RRR：3x3
G\pmb GGGG：2x2
E\pmb EEEE：3x2
H\pmb HHHH：3x3

MPC的代码片段如下：(代码中的字母和这篇博客的字母是一一对应的)

Eigen::VectorXd RunMPC(unsigned int N, Eigen::VectorXd &init_x, Eigen::MatrixXd &A, Eigen::MatrixXd &B,Eigen::MatrixXd &Q, Eigen::MatrixXd &R, Eigen::MatrixXd &F) {unsigned int num_state = init_x.rows();unsigned int num_control = B.cols();Eigen::MatrixXd C, M;C.resize((N + 1) * num_state, num_control * N);C.setZero();M.resize((N + 1) * num_state, num_state);Eigen::MatrixXd temp;temp.resize(num_state, num_state);temp.setIdentity();M.block(0, 0, num_state, num_state).setIdentity();for (unsigned int i = 1; i <= N; ++i) {Eigen::MatrixXd temp_c;temp_c.resize(num_state, (N + 1) * num_control);temp_c << temp * B, C.block(num_state * (i - 1), 0, num_state, C.cols());C.block(num_state * i, 0, num_state, C.cols())= temp_c.block(0, 0, num_state, temp_c.cols() - num_control);temp = A * temp;M.block(num_state * i, 0, num_state, num_state) = temp;}Eigen::MatrixXd Q_bar, R_bar;Q_bar.resize(num_state * (N + 1), num_state * (N + 1));Q_bar.setZero();for (unsigned int i = 0; i < N; ++i) {Q_bar.block(num_state * i, num_state * i, num_state, num_state) = Q;}Q_bar.block(num_state * N, num_state * N, num_state, num_state) = F;R_bar.resize(N * num_control, N * num_control);R_bar.setZero();for (unsigned int i = 0; i < N; ++i) {R_bar.block(i * num_control, i * num_control, num_control, num_control) = R;}Eigen::MatrixXd G = M.transpose() * Q_bar * M;Eigen::MatrixXd E = C.transpose() * Q_bar * M;Eigen::MatrixXd H = C.transpose() * Q_bar * C + R_bar;return H.inverse() * (-E * init_x);
}

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3.实验结果

对于公式（10）所示的系统，我们来探讨Q\pmb QQQQ、R\pmb RRRR、F\pmb FFFF，以及预测区间NNN对控制器的影响。

公式（10）所示的系统，其状态量有2个，其中x2x_2x2收敛的比较快，不利于我们观察，所以下图只是绘制了第一个状态量变量的变化情况。

(1). 预测区间N的影响

(2). 权重矩阵F的影响

(3). 权重矩阵Q的影响

(4). 权重矩阵R的影响

上面的过程只是为了帮助大家去理解MPC各个权重参数的大致作用，所得出的结论并一定适合别的系统。

4. 总结

本文从一个离散的线性系统开始，对MPC进行推导，完整的探索了整个过程。

如果大家对优化理论和控制理论有一些了解的话，对于MPC的理解是比较容易的，它并不复杂。

我们在上述的过程中，构建了一个代价函数J\pmb JJJJ，它的最优值求解是一个二次规划问题，在不考虑约束的情况下，直接求导就能得到最优的控制量。

但是实际应用中，可能还会引入一些约束。例如，在自动驾驶情境中，我们对四轮汽车的系统，控制它的速度和转角，但是这些控制量很明显有实际意义，汽车的转角有一个范围，速度也有范围，因此我们在求解类似这样的控制问题时，需要对代价函数加入约束。此时就变成了带约束的二次规划问题了，就不能再通过求导得到最优值了，只能通过优化迭代的方式找到最优值。

5.参考资料

(1). MPC模型预测控制器