逆矩阵的概念、应用和求解
目录
逆矩阵的概念
求解逆矩阵
应用例子
可能没有逆矩阵
求解逆-方法1：初等行运算（高斯－若尔当）
求解逆-方法2：余子式、代数余子式和伴随
求解逆-方法3：程序库
逆矩阵的概念
矩阵运算中，是没有除法的，也就是不能除以一个矩阵，这时就需要逆矩阵了。
注意：矩阵一定是方正（行和列的数目相同），才能有逆矩阵。
假设知道矩阵 A 和 B，而需要求矩阵 X：
这里不能除以矩阵A（X=B/A），但是可以每边都乘以 ：
因为 A = I （I 是单位矩阵），所以：
最后得出 ：
求解逆矩阵
逆矩阵求解公式：
调换 a 和 d 的位置，把 负号放在 b 和 c 前面，然后除以矩阵的行列式（ad-bc）。
应用例子
题目：一帮人坐公交车，车费是小孩￥3，大人￥3.2，总共是￥118.4。回程他们搭地铁，车费是小孩￥3.5，大人￥3.6，总共是￥135.2。请问几个小孩和几个大人？
解：设小孩 x1个，大人x2个。
先求左侧矩阵的逆：
得出结果：
答：16个小孩，22个大人。
可能没有逆矩阵
如果矩阵的行列式为零，这时就没有逆矩阵。如：
这种矩阵叫 "降秩矩阵"，就是行列式为零的矩阵。
从该矩阵看出，第二行是第一行的两倍（或n倍），它们的行列式一定是零，这并没有提供新的信息或特征。
如上面的例子中，如果地铁的车费全是比公交车贵一半，我们便不能找出大人和小孩的分别。一定要有某些信息或特征来区别他们的不同，才可以算出小孩和大人的数量。
求解逆-方法1：初等行运算（高斯－若尔当）
计算 2x2 矩阵的逆是很容易的，但是计算更大的矩阵就比较复杂了。
这里介绍一种求解大矩阵的逆的方法：初等行运算（高斯－若尔当）。求解方法：
把矩阵 A 和 单位矩阵 I 放到一起，然后通过运算把 A 变成 I，这时 I 就变成了 。
例子：求 A 的逆矩阵。解：
直观理解该方法：
求解逆-方法2：余子式、代数余子式和伴随
余子式、代数余子式和伴随来求逆矩阵，计算过程比较繁琐。有以下步骤：
1、求余子式矩阵
2、转成代数余子式矩阵
3、转成伴随矩阵
4、乘以 1/行列式
例子：求 A 的逆矩阵。解：
余子式矩阵（计算行列式）：
代数余子式矩阵（加入相隔正负号）：
转成伴随矩阵（转置）：
乘以 1/行列式：
矩阵A的行列式 = 3×2 - 0×2 + 2×2 = 10
求解逆-方法3：程序库
1、使用 Octave 中的 pinv(A)。
2、使用 Python 中 numpy.linalg.inv(A)。
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