本文主要解决古典密码中的Hill体制密码在已知明文M和密文C的情况下求解密钥矩阵K的两种方法：①求逆矩阵②待定系数法。
如若不懂Hill体制的古典密码可以参照我上一篇文章密码学——几种典型的古典密码体制(Caesar体制、Playfair体制、Vigenere体制、Beaufort体制以及Hill体制)

文章目录

引入题目
一、求解逆矩阵
二、求解方法
- 1.逆矩阵求解法
- 2.待定系数求解法
结束语

引入题目

设英文字母A,B,C,…,Z分别对应编码为0,1,2,…,25。已知Hill密码中的明文长度为2，密钥K为Z26Z_{26}Z26上的一个二阶可逆方阵，现给出明文FRID，所对应的密文为PQCF，试求解密钥矩阵K

一、求解逆矩阵

此处只是简单的描述线性代数中求解逆矩阵的步骤
设矩阵M=(51783)M=\begin {pmatrix}5 & 17 \\ 8 &3 \end{pmatrix} \\ M=(58173)
解：①∣M∣=5×3−8×17=−121=9(mod26)\vert M \vert =5\times3-8\times17=-121=9\ (mod\ 26) ∣M∣=5×3−8×17=−121=9 (mod 26)注意，在模运算中-121模26等同于9模26∣M∣−1=3(mod26)∵3×9=27≡1(mod26)\vert M \vert^{-1} =3\ (mod\ 26) \because 3\times 9=27\equiv1\ (mod\ 26)∣M∣−1=3 (mod 26)∵3×9=27≡1 (mod 26)注意，在模运算中逆元的求解为相乘模26余1

②M∗=(3−17−85)M^*=\begin {pmatrix}3 & -17 \\ -8 &5 \end{pmatrix} \\ M∗=(3−8−175)注意，此处的M∗M^*M∗表示的是M的代数余子式，如若不知如何求代数余子式可以去搜查有关知识，此处有个方便的小tips：主对角线交换位置，副对角线变为负（仅限2x2矩阵的代数余子式）
③M−1=∣M∣−1⋅M∗=3⋅(3−17−85)=(91215)M^{-1}=\vert M \vert^{-1} \cdot M^*=3\cdot \begin {pmatrix}3 & -17 \\ -8 &5 \end{pmatrix} =\begin {pmatrix}9 & 1 \\ 2 &15 \end{pmatrix} \\ M−1=∣M∣−1⋅M∗=3⋅(3−8−175)=(92115)注意，此处都是进行了模26的操作，所以结果都为正数

二、求解方法

1.逆矩阵求解法

解：
①因为明文分组长度为2，所以明文、密文向量每一组的列数为2。
明文∵F→5,R→17,I→8,D→3\because F\to 5,R \to 17,I\to 8,D\to 3∵F→5,R→17,I→8,D→3密文P→15,Q→16,C→2,F→5P\to 15,Q \to 16,C\to 2,F\to 5P→15,Q→16,C→2,F→5注意，此处的数字是字母对应Z26Z_{26}Z26上的数字
所以明文向量（5，17）（8，3）密文向量（15，16）（2，5）
∵c=mKmod26\because c=mK\ mod\ 26 ∵c=mK mod 26∴(15,16)=(5,17)K,(2,5)=(8,3)K\therefore (15,16)=(5,17)K,(2,5)=(8,3)K∴(15,16)=(5,17)K,(2,5)=(8,3)K
故(151625)=(51783)K\begin {pmatrix}15 & 16 \\ 2 &5 \end{pmatrix} = \begin {pmatrix}5 & 17 \\ 8 &3\end{pmatrix} K (152165)=(58173)K注意，整合为一个矩阵的时候一定要行向量对应
由c=mKmod26c=mK\ mod\ 26c=mK mod 26，得m−1c=m−1mK=Km^{-1}c=m^{-1}mK=Km−1c=m−1mK=K 注意，某数和其逆元相乘的结果是单位E，也就是1
②求解明文的逆矩阵如前面一、求解逆矩阵所示，此处不赘述。
③带入逆矩阵求得结果K=m−1c=(91215)(151625)=(9×15+1×29×16+1×52×15+15×22×16+15×5)=(13714960107)=(71983)mod26K=m^{-1}c\\= \begin {pmatrix}9 & 1 \\ 2 &15 \end{pmatrix} \begin {pmatrix}15 & 16 \\ 2 &5\end{pmatrix} \\= \begin {pmatrix}9\times15+1\times2 & 9\times16+1\times5\\ 2\times15+15\times2 &2\times16+15\times5\end{pmatrix}\\=\begin {pmatrix}137 & 149 \\ 60 &107 \end{pmatrix} \\=\begin {pmatrix}7 & 19 \\ 8 &3 \end{pmatrix}\ mod\ 26K=m−1c=(92115)(152165)=(9×15+1×22×15+15×29×16+1×52×16+15×5)=(13760149107)=(78193) mod 26
故密钥K为(71983)\begin {pmatrix}7 & 19 \\ 8 &3 \end{pmatrix}(78193)

2.待定系数求解法

解：
设密钥矩阵K为(k11k12k21k22)\begin {pmatrix}k_{11} & k_{12} \\ k_{21} &k_{22} \end{pmatrix}(k11k21k12k22)，根据(151625)=(51783)(k11k12k21k22)\begin {pmatrix}15 & 16 \\ 2 &5 \end{pmatrix} = \begin {pmatrix}5 & 17 \\ 8 &3\end{pmatrix} \begin {pmatrix}k_{11} & k_{12} \\ k_{21} &k_{22} \end{pmatrix}(152165)=(58173)(k11k21k12k22)得{5k11+17k21≡15mod265k12+17k22≡16mod268k11+3k21≡2mod268k12+3k22≡5mod26⇒{40k11+136k21≡120mod26①40k11+15k21≡10mod26②40k12+136k22≡128mod26③40k12+15k22≡25mod26④\begin{cases} 5k_{11}+17k_{21}\equiv15\ mod\ 26\\ 5k_{12}+17k_{22}\equiv16\ mod\ 26\\ 8k_{11}+3k_{21}\equiv2\ mod\ 26\\ 8k_{12}+3k_{22}\equiv5\ mod\ 26 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 40k_{11}+136k_{21}\equiv120\ mod\ 26\ ①\\ 40k_{11}+15k_{21}\equiv10\ mod\ 26\ ②\\ 40k_{12}+136k_{22}\equiv128\ mod\ 26\ ③\\ 40k_{12}+15k_{22}\equiv25\ mod\ 26\ ④ \end{cases} ⎩⎨⎧5k11+17k21≡15 mod 265k12+17k22≡16 mod 268k11+3k21≡2 mod 268k12+3k22≡5 mod 26⇒⎩⎨⎧40k11+136k21≡120 mod 26 ①40k11+15k21≡10 mod 26 ②40k12+136k22≡128 mod 26 ③40k12+15k22≡25 mod 26 ④
①−②,③−④⇒{121k21≡110mod26121k22≡103mod26①-②,③-④\Rightarrow \begin{cases} 121k_{21}\equiv110\ mod26\\ 121k_{22}\equiv103\ mod26\\ \end{cases} ①−②,③−④⇒{121k21≡110 mod26121k22≡103 mod26
⇒{17k21≡6mod2617k22≡25mod26⇒{k21≡23×6≡8mod26k22≡23×25≡3mod26\Rightarrow \begin{cases} 17k_{21}\equiv6\ mod26\\ 17k_{22}\equiv25\ mod26\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{21}\equiv23\times6\equiv8\ mod26\\ k_{22}\equiv23\times25\equiv3\ mod26\end{cases} ⇒{17k21≡6 mod2617k22≡25 mod26⇒{k21≡23×6≡8 mod26k22≡23×25≡3 mod26
故带入k21,k22k_{21},k_{22}k21,k22的值可得
{5k11+17×8≡15mod265k12+17×8≡16mod26⇒{k11≡7mod26k12≡19mod26\begin{cases} 5k_{11}+17\times8\equiv15\ mod26\\ 5k_{12}+17\times8\equiv16\ mod26\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{11}\equiv7\ mod26\\ k_{12}\equiv19\ mod26\end{cases} {5k11+17×8≡15 mod265k12+17×8≡16 mod26⇒{k11≡7 mod26k12≡19 mod26
故密钥K为(71983)\begin {pmatrix}7 & 19 \\ 8 &3 \end{pmatrix}(78193)

结束语

以上就是有关密码学的Hill体制有关已知明文和密文如何求解密钥矩阵的两种方法的介绍，希望能对读者们起到一定的作用。
如果存在错误欢迎在评论区指出，可以多多交流，大家一起进步。

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