【矩阵论】广义逆矩阵与线性方程组求解思维导图
前言:为什么需要广义逆矩阵?
我们在书中所学的逆矩阵A−1A^{-1}A−1必须是非奇异矩阵才行,但现实生活中有大量矩阵不一定是方阵,而就算是方阵也可能是奇异
的(detA=0)(\det A=0)(detA=0)。因此,为了解决更宽泛的矩阵问题,我们需要将逆矩阵的概念推广到奇异矩阵中,使得奇异矩阵也具有逆矩阵的主要性质,并且在非奇异的时候可以还原到通常的逆矩阵中。
文章目录
- 前言:为什么需要广义逆矩阵?
- 一、广义逆矩阵的概念与性质
- 二、广义逆矩阵的应用—线性方程组的求解
- 参考文献
一、广义逆矩阵的概念与性质
二、广义逆矩阵的应用—线性方程组的求解
由上图可知,对于如下线性方程组,若有解,则该方程是相容的,否则是矛盾方程组。
Ax=bAx=b Ax=b
- 如果方程相容的条件是什么?
AA(1)b=bAA+b=bAA^{(1)}b=b \\ AA^{+}b=b AA(1)b=bAA+b=b - 如果方程
相容
,其解可能有无数个,我们需要求极小范数解
min∥x∥s.tAx=b\begin{aligned} &\min \; \|x\| \\ &\; s.t \;\; Ax=b \end{aligned} min∥x∥s.tAx=b - 如果是
矛盾方程组
,则解不存在,我们需要求最小二乘解
minx∈Cn∥Ax−b∥\begin{aligned} &\min_{x\in C^n} \; \|Ax-b\| \\ \end{aligned} x∈Cnmin∥Ax−b∥ - 一般矛盾方程组的最小二乘解
不唯一
,因此,我们需要求极小范数最小二乘解
min∥x∥s.tmin∥Ax−b∥\begin{aligned} &\min \; \|x\| \\ &\; s.t \;\; \min \; \|Ax-b\| \end{aligned} min∥x∥s.tmin∥Ax−b∥
参考文献
程云鹏, 凯院, 仲. 矩阵论[M]. 西北工业大学出版社, 2006.
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