Convolution

引

已知两个拉普拉斯变换结果F(s),G(s)F(s),G(s)F(s),G(s),
F(s)=∫0∞e−stf(t)dtG(s)=∫0∞e−stg(t)dtF(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt\\ G(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)dt F(s)=∫0∞e−stf(t)dtG(s)=∫0∞e−stg(t)dt
它们的乘积F(s)⋅G(s)F(s)\cdot G(s)F(s)⋅G(s)为何？

我们知道拉普拉斯变换就是连续版的幂级数

于是我们可以用幂级数的乘积类比出卷积的公式
F(x)=∑0∞anxnG(x)=∑0∞bnxnF(x)⋅G(x)=∑n=0∞(∑m=0nambn−m)xnF(x) = \sum_0^\infty a_nx^n\\ G(x) = \sum_0^\infty b_nx^n\\ F(x)\cdot G(x) = \sum_{n=0}^\infty(\sum_{m=0}^na_mb_{n-m})x^n F(x)=0∑∞anxnG(x)=0∑∞bnxnF(x)⋅G(x)=n=0∑∞(m=0∑nambn−m)xn
幂级数的乘积的系数乘为柯西乘积，思考:

xnx^nxn项可以由1,xn1,x^n1,xnx相乘得到可以由x,xn−1x,x^{n-1}x,xn−1相乘，x2,xn−2x^2,x^{n-2}x2,xn−2相乘，…，xm,xn−mx^m,x^{n-m}xm,xn−m相乘，…，xn,1x^n,1xn,1相乘得到，所以就得出xnx^nxn项的系数为柯西乘积

于是我们把这个式子变连续，即可得：
F(s)⋅G(s)=∫0∞(∫0tf(u)g(t−u)du)e−stdt=∫0∞(f∗g)e−stdtF(s)\cdot G(s) = \int_{0}^{\infty}(\int_0^tf(u)g(t-u)du)e^{-st}dt = \int_{0}^{\infty}(f*g)e^{-st}dt F(s)⋅G(s)=∫0∞(∫0tf(u)g(t−u)du)e−stdt=∫0∞(f∗g)e−stdt
其中
∫0tf(u)g(t−u)du\int_0^tf(u)g(t-u)du ∫0tf(u)g(t−u)du
称为fff和ggg的卷积，写作f∗gf*gf∗g

文章目录

Convolution
- - 引
- @[toc]
- - 证明
  - 性质
  - 理解卷积

证明

用二重积分换元证明
F(s)⋅G(s)=∫0∞e−suf(u)du⋅∫0∞e−svg(v)dvF(s)\cdot G(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-su}f(u)du\cdot \int_{0}^{\infty}e^{-sv}g(v)dv F(s)⋅G(s)=∫0∞e−suf(u)du⋅∫0∞e−svg(v)dv
根据小富比尼定理（Little Fubini’s theorem\text{Little Fubini's theorem}Little Fubini’s theorem）
=∫0∞∫0∞e−s(u+v)f(u)g(v)dudv=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-s(u+v)}f(u)g(v)dudv =∫0∞∫0∞e−s(u+v)f(u)g(v)dudv
令t=u+vt = u+vt=u+v, 换元
{u=uv=t−u\left\{\begin{matrix} u = u\\ v = t-u \end{matrix}\right. {u=uv=t−u
雅可比行列式 JacobianJacobianJacobian
JT=∣10−11∣=1J_T = \begin{vmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 JT=∣∣∣∣1−101∣∣∣∣=1
原积分区域施以逆变换T−1=(1011)T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}T−1=(1101), 即基向量[10]\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}[10] 变换为 [11]\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}[11]

即得到
=∫0∞∫0te−stf(u)g(t−u)JTdudt=∫0∞e−st∫0tf(u)g(t−u)dudt=∫0∞e−st(f∗g)dt=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t}e^{-st}f(u)g(t-u)J_T\ dudt\\ =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\int_{0}^{t}f(u)g(t-u)dudt\\ =\int_{0}^{\infty}e^{-st}(f*g)dt =∫0∞∫0te−stf(u)g(t−u)JT dudt=∫0∞e−st∫0tf(u)g(t−u)dudt=∫0∞e−st(f∗g)dt

性质

摘自wiki https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%B7%E7%A7%AF

交换律 f∗g=g∗ff*g = g*ff∗g=g∗f

结合律 f∗(g∗h)=(f∗g)∗hf*(g*h) = (f*g)*hf∗(g∗h)=(f∗g)∗h

分配律 f∗(g+h)=(f∗g)+(f∗h)f*(g+h) = (f*g) + (f*h)f∗(g+h)=(f∗g)+(f∗h)

数乘结合律 a(f∗g)=(af)∗g=f∗(ag)a(f*g) = (af)*g = f*(ag)a(f∗g)=(af)∗g=f∗(ag) a为任意实数（或复数）

微分定理 D(f∗g)=Df∗g=f∗Dg\mathcal{D}(f*g) = \mathcal{D}f*g = f*\mathcal{D}gD(f∗g)=Df∗g=f∗Dg

理解卷积

可以理解为f(t)f(t)f(t)为系统的元素输入率，g(t)g(t)g(t)理解为系统元素本身的变化比率

e.g. 核废料填埋

填埋率为f(t)f(t)f(t),衰变率g(t)=e−ktg(t) = e^{-kt}g(t)=e−kt

某一时间uuu填进废料f(u)duf(u)duf(u)du 这一堆放射性废料在ttt时刻衰变为原来的e−k(t−u)e^{-k(t-u)}e−k(t−u)倍

所以ttt时刻的放射性物质为fff和ggg的卷积即
∫0tf(u)e−k(t−u)du\int_0^tf(u)e^{-k(t-u)}du ∫0tf(u)e−k(t−u)du

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