第一讲无穷级数的概念

一，无穷级数的定义

$\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}=s_{n}+r_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}+u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_{n+m}+...$
通项： $u_{n}$
部分和： $s_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}$
余项： $r_{n}=u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_{n+m}+...$
离散的和： $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}u_{k}=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}$
连续的和（反常积分）： $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx$

二，级数的收敛和发散

收敛： $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}=s$ ，s为任意数

余项 $r_{n}=s-s_{n}$
$\lim_{n\rightarrow \infty }r_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }(s-s_{n})=s-\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}=0$
$s\approx s_{n}$ ，其中截断误差为 $\left | r_{n} \right |$

发散： $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}=\pm \infty$ ，或者不存在

三，等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty }ar^{n-1}$ ，（ $a\neq 0$ ）的敛散性

展开： $\sum_{n=1}^{\infty }ar^{n-1}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}+$
通项： $ar^{n-1}$ ，公比： $r$
假设 $r\neq 1$ ：

等比数列求和公式 $s_{n}=a\frac{1-r^{n}}{1-r}$
$\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }a\frac{1-r^{n}}{1-r}$
当 $\left | r \right |< 1$ 时， $\lim_{n\rightarrow \infty }r^{n}=0$ ， $\lim_{n\rightarrow \infty }a\frac{1-r^{n}}{1-r}=\frac{a}{1-r}$ ，级数收敛
当 $\left | r \right |> 1$ 时， $\lim_{n\rightarrow \infty }r^{n}=\pm \infty$ ， $\lim_{n\rightarrow \infty }a\frac{1-r^{n}}{1-r}=a\frac{1\pm \infty }{1-r}$ ，级数发散

假设 $r=1$ ： $\sum_{n=1}^{\infty }ar^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty }a=\lim_{n\rightarrow \infty }na$ ，级数发散
假设 $r=-1$ ：

展开： $\sum_{n=1}^{\infty }ar^{n-1}=a-a+a-a+...+ar^{n-1}+$
当n为奇数时， $s_{n}=a$ ， $\lim_{n\rightarrow \infty }a=a$
当n为偶数时， $s_{n}=0$ ， $\lim_{n\rightarrow \infty }0=0$
$\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}$ 不存在，级数发散

总结：只有当 $\left | r \right |< 1$ 时，等比级数收敛， $\sum_{n=1}^{\infty }ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}$ ，a是首项

四，收缩级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}$ 的敛散性

展开： $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{n(n+1)}+...$
部分和： $s_{n}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$
求极限： $\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}=1$
级数收敛

五，调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 的敛散性

展开： $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...++\frac{1}{n}+...$
部分和没有表达式
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=+\infty$
证明，如图：

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