UA MATH565C 随机微分方程II Wiener过程简介
UA MATH565C 随机微分方程II Wiener过程简介
- Wiener过程的简单性质
- Wiener过程的定义
在上一讲我们定义了WtW_tWt：
dWt=ηtdt⇔Wt=∫0tηsdsdW_t = \eta_t dt \Leftrightarrow W_t = \int_{0}^t \eta_s dsdWt=ηtdt⇔Wt=∫0tηsds
其中ηt\eta_tηt是高斯白噪声过程，WtW_tWt被称为Wiener过程或者Brown运动。这一part给出Wiener过程的构造理论，以及一些常用的性质与结论。
Wiener过程的简单性质
因为Wiener过程根据高斯白噪声构造，所以性质也主要由高斯白噪声的性质推导得到。高斯白噪声的性质为：
- Eηt=0,∀t∈TE\eta_t=0,\forall t \in \mathcal{T}Eηt=0,∀t∈T
- Eηtηs=δ(t−s),∀t,s∈T,σ2<+∞E\eta_t\eta_s=\delta(t-s),\forall t,s \in \mathcal{T},\sigma^2 < +\inftyEηtηs=δ(t−s),∀t,s∈T,σ2<+∞
- 高斯过程
根据这三条，可以得到Wiener过程的三条简单性质：
- 高斯过程
- EWt=E∫0tηsds=∫0tEηsds=0EW_t = E\int_{0}^t \eta_s ds = \int_{0}^t E\eta_s ds=0EWt=E∫0tηsds=∫0tEηsds=0
- ∀0≤s<t<v<u,E[(Wt−Ws)(Wu−Wv)]=0\forall 0\le s<t<v<u,E[(W_t-W_s)(W_u-W_v)]=0∀0≤s<t<v<u,E[(Wt−Ws)(Wu−Wv)]=0
这一条是根据高斯白噪声的性质2得到的，因为Wt−Ws=∫stηrdr,Wu−Wv=∫vuηrdrW_t-W_s=\int_s^t \eta_rdr,W_u-W_v=\int_v^u \eta_rdrWt−Ws=∫stηrdr,Wu−Wv=∫vuηrdr。
其实根据WtW_tWt的定义还可以看出它的初值为0：
W0=∫00ηtdt=0W_0 = \int_0^0 \eta_t dt = 0W0=∫00ηtdt=0
从Wiener过程的性质3得到，假设s<ts<ts<t，则
E[Ws(Wt−Ws)]=0⇒E[WsWt]=E[Ws2]=sE[W_s(W_t-W_s)]=0 \Rightarrow E[W_sW_t] = E[W_s^2] =sE[Ws(Wt−Ws)]=0⇒E[WsWt]=E[Ws2]=s
这个结论可以写成更一般的：
E[WsWt]=min(s,t),∀s,t∈TE[W_sW_t]=min(s,t),\forall s,t \in \mathcal{T}E[WsWt]=min(s,t),∀s,t∈T
其中WtW_tWt的矩的计算可以用特征函数来做，这里给两个结论：∀k∈N\forall k \in \mathbb{N}∀k∈N
- E[Wt]2k=(2k)!2kk!tkE[W_t]^{2k} = \frac{(2k)!}{2^k k!} t^kE[Wt]2k=2kk!(2k)!tk
- E[Wt]2k−1=0E[W_t]^{2k-1} = 0E[Wt]2k−1=0
因为Wt∼N(0,t)W_t \sim N(0,t)Wt∼N(0,t)，所以Wiener过程的矩可以直接套用正态分布的nnn阶矩公式，公式的推导懒得打字，直接贴我的作业：
里面那个复合函数的高阶导数公式可以参考柯召的组合论。
Wiener过程的定义
根据Wiener过程的简单性质来定义它，如果随机过程WtW_tWt满足下面三条性质：∀s,t∈T\forall s,t \in \mathcal{T}∀s,t∈T
- 高斯过程；
- EWt=0EW_t=0EWt=0;
- E[WtWs]=min(s,t)E[W_tW_s]=min(s,t)E[WtWs]=min(s,t)
比较正式的构造需要用Kolmogorov定理，为此WtW_tWt的路径函数依概率1连续，Wiener过程的构造放在下一讲。
应用Wiener过程之前，需要根据这三条性质来验证一个随机过程是不是Wiener过程，下面举几个例子来说明。
如果WtW_tWt是Wiener过程，则
例1
1、−Wt-W_t−Wt是Wiener过程；
2、Xt=Wt0+t−WtX_t=W_{t_0+t}-W_tXt=Wt0+t−Wt是Wiener过程，∀t0∈T\forall t_0 \in \mathcal{T}∀t0∈T
第一条比较直观，验证一下第二条的性质3：
E[XsXt]=E[(Wt0+s−Ws)(Wt0+t−Wt)]=E[Wt0+sWt0+t]+E[WsWt]−E[Wt0+sWt]−E[Wt0+tWs]=min(t+t0,s+t0)+min(t,s)−min(t0+s,t)−min(t0+t,s)=min(t,s)E[X_sX_t] = E[(W_{t_0+s}-W_s)(W_{t_0+t}-W_t)] \\ = E[W_{t_0+s}W_{t_0+t}]+E[W_sW_t] - E[W_{t_0+s}W_t]-E[W_{t_0+t}W_s]\\=min(t+t_0,s+t_0)+min(t,s)-min(t_0+s,t)-min(t_0+t,s) =min(t,s) E[XsXt]=E[(Wt0+s−Ws)(Wt0+t−Wt)]=E[Wt0+sWt0+t]+E[WsWt]−E[Wt0+sWt]−E[Wt0+tWs]=min(t+t0,s+t0)+min(t,s)−min(t0+s,t)−min(t0+t,s)=min(t,s)
例2 Yt=1cWc2tY_t=\frac{1}{c}W_{c^2t}Yt=c1Wc2t是Wiener过程，这种构造叫Wiener Scaling
性质1、2都很显然，验证一下性质3：
E[YsYt]=E[1c2Wc2sWc2t]=1c2min(c2s,c2t)=min(s,t)E[Y_sY_t]=E[\frac{1}{c^2} W_{c^2s}W_{c^2 t}] = \frac{1}{c^2} min(c^2s,c^2t)=min(s,t)E[YsYt]=E[c21Wc2sWc2t]=c21min(c2s,c2t)=min(s,t)
例3 Zt=tW1tZ_t=tW_{\frac{1}{t}}Zt=tWt1是Wiener过程
性质1、2同样很显然，先验证一下性质3：
E[ZsZt]=E[stW1sW1t]=stmin(1s,1t)=min(s,t)E[Z_sZ_t] = E[stW_{\frac{1}{s}}W_{\frac{1}{t}}] = st min(\frac{1}{s},\frac{1}{t}) = min(s,t)E[ZsZt]=E[stWs1Wt1]=stmin(s1,t1)=min(s,t)
需要注意的是这个随机过程的时间在WtW_tWt的基础上做了一个反比例变换，导致t=0t=0t=0成为了一个奇点。因此需要验证一下这个随机过程的路径函数是否以概率1连续，更精确一点，要验证ZtZ_tZt在t=0t=0t=0处能以概率1连续。
定义E={w:Zt→0,ast→0}E = \{w:Z_t \to 0, as\ t \to 0\}E={w:Zt→0,as t→0}，用一个比较神奇的构造：
E=⋂n⋃m⋂q∈Q∩[0,1m]{w:∣Zq∣≤1n}E=\bigcap_n \bigcup_m \bigcap_{q \in \mathbb{Q}\cap [0,\frac{1}{m}]}\{w:|Z_q| \le \frac{1}{n}\}E=n⋂m⋃q∈Q∩[0,m1]⋂{w:∣Zq∣≤n1}
要证明以概率1连续，需要
P(E)=1P(E)=1P(E)=1
因为Zq=W1q1/qZ_q = \frac{W_{\frac{1}{q}}}{1/q}Zq=1/qWq1，当q→0q \to 0q→0，1q→∞\frac{1}{q} \to \inftyq1→∞，根据大数法则Zq→0a.s.Z_q \to 0\ a.s.Zq→0 a.s.，用这个来证明P(E)=1P(E)=1P(E)=1就很直接了。再来看一下这个神奇的构造，要证明ZtZ_tZt在t=0t=0t=0处连续，需要在T\mathcal{T}T上找一个收敛到0的子列，满足按这个子列对ZtZ_tZt的采样依概率1收敛到0。因为ZtZ_tZt中的时间在已知的Wiener过程中是1/t1/t1/t，所以这里用q=Q∩[0,1m],m=1,⋯,∞q=\mathbb{Q} \cap [0,\frac{1}{m}],m=1,\cdots,\inftyq=Q∩[0,m1],m=1,⋯,∞是在确定一个收敛到0有理子列。∣Zq∣≤1n|Z_q| \le \frac{1}{n}∣Zq∣≤n1并对n=1,⋯,∞n=1,\cdots,\inftyn=1,⋯,∞取交集，ZqZ_qZq其实就是按那个子列对ZtZ_tZt做的一列采样，如果这个东西的概率是1，就可以说明这个子列对ZtZ_tZt的采样依概率1收敛到0。
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