2021牛客多校1 - Hash Function(思维+FFT)

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题目大意：给出一个长度为 nnn 的序列，现在要求找到一个 seedseedseed，使得所有数字变为 a[i]=a[i]modseeda[i]=a[i]\mod seeda[i]=a[i]modseed 后两两互不相同，找到最小的 seedseedseed

题目分析：考虑转换模型，如果存在着 iii 和 jjj 使得 a[i]≡a[j](modseed)a[i] \equiv a[j] \pmod {seed}a[i]≡a[j](modseed)，那么肯定有 a[i]+k∗seed=a[j]a[i]+k*seed=a[j]a[i]+k∗seed=a[j]，其中 kkk 为任意正整数，移项可得 a[i]−a[j]≡0(modseed)a[i]-a[j] \equiv 0 \pmod{seed}a[i]−a[j]≡0(modseed)，到此模型转换为寻找到最小的正整数 mmm，其中不是任意一对 ∣a[i]−a[j]∣|a[i]-a[j]|∣a[i]−a[j]∣ 的约数。

直接按照项数枚举的话复杂度是 n2n^2n2 级别的，观察到值域是 [0,500000][0,500000][0,500000] 的，即 a[i],a[j]∈[0,500000]a[i],a[j] \in[0,500000]a[i],a[j]∈[0,500000]，推得 ∣a[i]−a[j]∣∈[0,500000]|a[i]-a[j]|\in[0,500000]∣a[i]−a[j]∣∈[0,500000]，因为本题中任意两项的值都互不相等，所以可以从值域入手，判断某个值是否存在，此时只需要枚举答案 seedseedseed，就可以在 O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn) 的时间复杂度内检查答案是否合法。

我们将 a[i]=xa[i]=xa[i]=x 转换为 P[x]=1P[x]=1P[x]=1，令多项式 {P0,P1,...,P500000−1,P500000}\{ P_{0},P_{1},...,P_{500000-1},P_{500000} \}{P0,P1,...,P500000−1,P500000} 与 {P0,P−1,...,P−(500000−1),P−500000}\{ P_{0},P_{-1},...,P_{-(500000-1)},P_{-500000} \}{P0,P−1,...,P−(500000−1),P−500000} 进行卷积，这样对于其中的 P[i]P[i]P[i] 和 P[j]P[j]P[j]，卷积后得到 P[i+j]P[i+j]P[i+j]，因为 jjj （下标）是负数，所以自然得到了所有的 Pi−jP_{i-j}Pi−j

到此为止就可以用 ntt 或 fft 进行优化了，不过多项式卷积不支持负数，所以需要给会出现负数的位置增加一个偏移量 limitlimitlimit，令第二个多项式变为：{Plimit−0,Plimit−1,...,Plimit−(500000−1),Plimit−500000}\{ P_{limit-0},P_{limit-1},...,P_{limit-(500000-1)},P_{limit-500000} \}{Plimit−0,Plimit−1,...,Plimit−(500000−1),Plimit−500000}

因为 ∣a[i]−a[j]∣∈[0,500000]|a[i]-a[j]|\in[0,500000]∣a[i]−a[j]∣∈[0,500000]，所以最后枚举答案的范围是 [1,500001][1,500001][1,500001]

代码：

// Problem: Hash Function
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11166/H
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 4000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#include<complex>
#define cp complex < double >
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;int lena=0,lenb=0,n,res[N<<2];cp F[N<<2],G[N<<2],arr[N<<2],inv[N<<2];void init()
{for (int i=0;i<n;i++){arr[i]=cp(cos(2*pi*i/n),sin(2*pi*i/n));inv[i]=conj(arr[i]);}
}
void FFT(cp *a,cp *arr)
{int lim=0;while ((1<<lim)<n) lim++;for (int i=0;i<n;i++){int t=0;for (int j=0;j<lim;j++)if ((i>>j) & 1) t|=1<<(lim-j-1);if (i<t) swap(a[i],a[t]);}for (int l=2;l<=n;l*=2){int m=l/2;for (cp *buf=a;buf!=a+n;buf+=l)for (int i=0;i<m;i++){cp t=arr[n/l*i]*buf[i+m];buf[i+m]=buf[i]-t;buf[i]+=t;}}
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);lena=lenb=500000;read(n);for(int i=1;i<=n;i++) {int x;read(x);F[x].real(1);G[500000-x].real(1);}n=1;while(n<(lena+lenb))n<<=1;init();FFT(F,arr);FFT(G,arr);for(int i=0;i<n;i++)F[i]*=G[i];FFT(F,inv);for(int i=0;i<n;i++)res[i]=floor(F[i].real()/n+0.5);for(int i=1;i<=500001;i++) {bool flag=true;for(int j=500000+i;j<=1000000;j+=i) {if(res[j]) {flag=false;break;}}if(flag) {return 0*printf("%d\n",i);}}return 0;
}

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