加法原理

完成一件事情，有N类方式去实现，第一类方式有 a 1 a_1 a1种，第二类方法有 a 2 a_2 a2种，…，第N类方法有 a n a_n an种，则完成这件事情的总方法数为：
∑ i = 1 N a i \sum_{i=1}^N a_i i=1∑Nai
例如：从北京到上海有火车、飞机、轮船 3 种方式，火车、飞机、轮船分别有 a1，a2，a3 个班次，那么从北京到上海有 a1+a2+a3 种方式可以到达。

乘法原理

做一件事，完成它要分成 n 个步骤，第一步有 a 1 a_1 a1 种不同的方法，第二步有 a 2 a_2 a2 种不同的方法，…，第 n 步有 a n a_n an 种不同的方法，那么完成这件事共有 a 1 × a 2 × a 3 × … × a n a_1 ×a_2×a_3×…×a_n a1×a2×a3×…×an 种不同的方法

例如：从北京乘坐火车到上海，需要转 3 次车，每次专车分别有 a1，a2，a3 个班次，那么从北京到上海有 a1×a2×a3 种方式可以到达。

排列组合

在排列与组合问题中，经常会出现计数问题，解决计数问题的思路一般有以下三种：

1）只取需要的。将各种符合条件的情形枚举出来，再利用加法原理求和。

2）先取后排。将各步符合条件的排列或组合计算出来，再根据乘法原理求积。

3）先全部取，再减去不要的。利用容斥定理，将各种符合条件的情形枚举出来，再减去不符合条件的。

排列数

从 n n n个不同元素中取出 m ( m < = n ) m(m<=n) m(m<=n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n n n个不同元素中取出 m m m个元素的排列数，⽤符号 A n m A_n^m Anm表示
A n m = n ! ( n − m ) ! A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!} Anm=(n−m)!n!

组合数

从 n n n个不同元素中取出 m m m个元素的所有组合的个数，叫做从 n n n个不同元素中取出 m m m个元素的组合数。⽤符号 C n m C_n^m Cnm或 C ( n , m ) C(n,m) C(n,m)来表示
C n m = A n m m ! = n ! m ! ( n − m ) ! C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!} Cnm=m!Anm=m!(n−m)!n!

组合恒等式

1） C n m = C n n − m C_n^m=C_n^{n-m} Cnm=Cnn−m

2） C n m = C n − 1 m + C n − 1 m − 1 C_n^m=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1} Cnm=Cn−1m+Cn−1m−1 ★

3） C n m = n m C n − 1 m − 1 C_n^m=\frac{n}{m}C_{n-1}^{m-1} Cnm=mnCn−1m−1

4） C n m + 1 = n − m m + 1 ∗ C n m C_n^{m+1}=\frac{n-m}{m+1}*C_n^m Cnm+1=m+1n−m∗Cnm

5） ( a + b ) n = ∑ k = 0 n C n k a n − k b k (a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^{k} (a+b)n=∑k=0nCnkan−kbk（二项式定理）

特殊展开： 2 n = C n 0 + C n 1 + . . . + C n n − 1 + C n n 2^n=C_n^0+C_n^1+...+C_n^{n-1}+C_n^n 2n=Cn0+Cn1+...+Cnn−1+Cnn

6） C n m C_n^m Cnm 为奇数时有 n&m=n

求组合数的方法

递推求组合数 O ( n m ) O(nm) O(nm)

// c[a][b] 表示从a个苹果中选b个的方案数
for (int i = 0; i < N; i ++ )for (int j = 0; j <= i; j ++ )if (!j) c[i][j] = 1;else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;

乘法逆元求组合数 O ( n ) O(n) O(n)

首先预处理出所有阶乘取模的余数fact[N]，以及所有阶乘取模的逆元infact[N]
如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元
int qmi(int a, int k, int p)    // 快速幂模板
{int res = 1;while (k){if (k & 1) res = (LL)res * a % p;a = (LL)a * a % p;k >>= 1;}return res;
}// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++ )
{fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}

杨辉三角形打表 O ( n m ) O(nm) O(nm)

1 1 1
11 11 11
121 1 21 121
1331 1 3 3 1 1331
14641 1 4 6 4 1 14641
…
我们不难发现其规律，每个数字等于其左上和上端的值，给定第 i i i行第 j j j列有，
a [ i ] [ j ] = a [ i − 1 ] [ j ] + a [ i − 1 ] [ j − 1 ] a[i][j] =a[i-1][j]+a[i-1][j-1] a[i][j]=a[i−1][j]+a[i−1][j−1]
组合恒等式有： C n m = C n − 1 m + C n − 1 m − 1 C_n^m=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1} Cnm=Cn−1m+Cn−1m−1 ★
那么，杨辉三角形第 i i i行第 j j j列可表示为： c i j c_ i^ j cij

     f[0][0]=1;for(int i = 1; i < N; i++)for(int j = 1; j <= i + 1; j++)f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1];

排列组合的应用

逐分法

需要分步骤完成的事件，我们首先想到的是乘法原理，对待事件逐一分配。

【例题】现在有12位警察，要分到3个路口每个路口4个人有多少种方案

【解析】第一个路口有 C 12 4 C_{12}^4 C124种选法，因为第一个路口已经用去了4位警察，所以第二个路口就只有 C 8 4 C_8^4 C84种了，第三个也只有 c 4 4 c_4^4 c44种了，根据乘法原理就可以得出总共的方案数就是 C 12 4 × C 8 4 × C 4 4 C_{12}^4×C_8^4×C_4^4 C124×C84×C44

捆绑法

要求元素相邻时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序。

【例题】由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数，求三个偶数必相邻的七位数的个数。

【解析】因为三个偶数2、4、6必须相邻，所以先将2、4、6三个数字“捆绑”在一起有 A 3 3 A_3^3 A33=6种不同的“捆绑”方法;再将捆绑后的元素与1、3、5、7进行全排列，有 A 5 5 A_5^5 A55=120种方法，根据乘法原理共有6×120=720种不同的排法，所以共有720个符合条件的七位数。

插空法

要求元素不相邻时，先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而解决问题。

【例题】由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数，求三个偶数互不相邻的七位数的个数。

【解析】因为三个偶数2、4、6互不相邻，所以先将1、3、5、7四个数字排好，有 A 4 4 A_4^4 A44=24种不同的排法，再将2、4、6分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的三个位置上，有 A 5 3 A_5^3 A53=60种排法，根据乘法原理共有24×60=1440种不同的排法，所以共有1440个符合条件的七位数。

隔板法

把 n n n个相同的苹果分给 k k k个人，要求每个人至少分到一个，求方案数。

把 n n n个苹果排成一排，在其中插入 k − 1 k−1 k−1块隔板，表示 k k k个人分到的部分。

插隔板的方法与分苹果的方案是一一对应的，那么方案数为 C n − 1 k − 1 C_{n−1}^{k−1} Cn−1k−1
那么如果有人可以分到 0 0 0个苹果呢？

我们给每个人多分一个苹果，使得每个人至少分配到一个苹果，在分配完之后再将每个人的苹果拿走一个。

那么方案数为 C k + n − 1 k − 1 C_{k+n−1}^{k-1} Ck+n−1k−1(先给k个苹果，让他们一人一个，再分n个苹果。)
隔板法与不定方程整数解的问题
求不定方程 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + . . . + x k = n x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_k=n x1+x2+x3+x4+...+xk=n的解的个数，要求 x i > d i x_i>d_i xi>di
设 y i = x i − d i > 0 y_i=x_i-d_i>0 yi=xi−di>0
那么有 y 1 + y 2 + y 3 + . . . + y k = n − ( d 1 + d 2 + d 3 + . . . + d k ) y_1+y_2+y_3+...+y_k=n-(d_1+d_2+d_3+...+d_k) y1+y2+y3+...+yk=n−(d1+d2+d3+...+dk)
答案: C n − ( d 1 + d 2 + d 3 + . . . + d k ) − 1 k − 1 C_{n-(d_1+d_2+d_3+...+d_k)-1}^{k-1} Cn−(d1+d2+d3+...+dk)−1k−1

（1） O − O − O − O − O − O − O − O − O − O O-O-O-O-O-O-O-O-O-O O−O−O−O−O−O−O−O−O−O 9个空插3个隔板

答案为： C 9 3 C_9^3 C93

（2）非负整数意为 x i x_i xi可以是0，我们可以
( x 1 + 1 ) + ( x 2 + 1 ) + ( x 3 + 1 ) + ( x 4 + 1 ) = 14 (x_1+1)+(x_2+1)+(x_3+1)+(x_4+1)=14 (x1+1)+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1)=14
即为： y 1 + y 2 + y 3 + y 4 = 14 y_1+y_2+y_3+y_4=14 y1+y2+y3+y4=14,13个空隙中插3个隔板
答案为： C 13 3 C_{13}^3 C133

（3）根据设 y i = x i − d i > 0 y_i=x_i-d_i>0 yi=xi−di>0
( x 1 + 3 ) + ( x 2 + 2 ) + ( x 3 + 1 ) + ( x 4 − 1 ) = 15 (x_1+3)+(x_2+2)+(x_3+1)+(x_4-1)=15 (x1+3)+(x2+2)+(x3+1)+(x4−1)=15
即为： y 1 + y 2 + y 3 + y 4 = 15 y_1+y_2+y_3+y_4=15 y1+y2+y3+y4=15,14个空隙中插3个隔板
答案为： C 14 3 C_{14}^3 C143

组合数学_排列与组合相关推荐

排列公式和组合公式_排列与组合：排列公式与组合公式之间有什么区别？
排列公式和组合公式 Here's the short version. 这是简短的版本. Let's take ringing bells in a church as an example. 让我们 ...
【组合数学】排列组合 ( 集合排列、分步处理示例 )
文章目录一.集合排列.分步处理示例排列组合参考博客 : [组合数学]基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 ) [组合数学]集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 ...
【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数示例 | 三个计数模型 | 选取问题 | 多重集组合问题 | 不定方程非负整数解问题 )
文章目录一.多重集组合示例二.三个计数模型排列组合参考博客 : [组合数学]基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 ) [组合数学]集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | ...
【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数推导 1 分割线推导 | 多重集组合数推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )
文章目录一.多重集组合 ( 所有元素重复度大于组合数 ) 二.多重集组合所有元素重复度大于组合数推导 1 ( 分割线推导 ) 二.多重集组合所有元素重复度大于组合数推导 2 ( 不定方程非负 ...
【组合数学】排列组合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列所有元素重复度大于排列数 | 多重集非全排列某些元素重复度小于排列数 )
文章目录一.多重集二.多重集全排列三.多重集全排列示例三.多重集非全排列 1 所有元素重复度大于排列数 ( ni≥rn_i \geq rni≥r ) 四.多重集非全排列 2 某些元素重复度小 ...
【组合数学】排列组合 ( 排列组合示例 )
文章目录一.排列组合示例 1 ( 组合 | 乘法法则 | 加法法则 ) 二.排列组合示例 2 参考博客 : [组合数学]基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 ) [组合数学]集合的排列组合问题示 ...
【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )
文章目录一.排列组合内容概要二.选取问题三.集合排列四.环排列五.集合组合参考博客 : [组合数学]基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 ) [组合数学]集合的排列组合问题示例 ( 排 ...
算法之组合数学及其算法篇(一） ----- 排列与组合
组合数学及其算法篇前言排列与组合无重集的排列与组合无重集的排列应用例子无重集的组合应用例子重集的排列和组合重集的排列重集的组合前言组合数学研究的对象是组态.所谓组态就是指若干个 ...
组合数学$1排列组合
C1 排列组合 S0 计数原理 1)加法原理: S = S 1 + S 2 + ⋯ + S k , S i ∩ S j = ∅ ⟹ ∣ S ∣ = ∑ i ∣ S i ∣ \mathbb{S = S_ ...

组合数学_排列与组合