C1 排列组合

S0 计数原理

1）加法原理： S = S 1 + S 2 + ⋯ + S k , S i ∩ S j = ∅ ⟹ ∣ S ∣ = ∑ i ∣ S i ∣ \mathbb{S = S_1 + S_2 + \dots + S_k, S_i \cap S_j = \varnothing \Longrightarrow |S| = \sum\limits_i |S_i|} S=S1+S2+⋯+Sk,Si∩Sj=∅⟹∣S∣=i∑∣Si∣

2）减法原理： U = S + A , S ∩ A = ∅ ⟹ ∣ S ∣ = ∣ U ∣ − ∣ A ∣ \mathbb{U = S+A,S\cap A = \varnothing \Longrightarrow |S| = |U| -|A|} U=S+A,S∩A=∅⟹∣S∣=∣U∣−∣A∣

3）乘法原理： ∣ A × B ∣ = ∣ A ∣ × ∣ B ∣ , A 、 B \mathbb{|A\times B | = |A|\times|B|,A、B} ∣A×B∣=∣A∣×∣B∣,A、B 的集合特征不应当有依赖关系

技巧：
- 约束性强的元素先分层
- 不相邻问题：隔板法；减法（捆绑使之相邻）

4）除法原理： A \mathbb{A} A 中每 k k k 个元素具备相同特征，则 ∣ S ∣ = ∣ A ∣ / k \mathbb{|S| = |A| / k} ∣S∣=∣A∣/k

S1 排列与组合

1）排列：顺序有关计数

n n n 元集 r r r 线性排列个数： P ( n , r ) = A n r = n ! ( n − r ) ! P(n,r)=A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!} P(n,r)=Anr=(n−r)!n!
- 循环排列个数： P ( n , r ) / r = n ! r ( n − r ) ! P(n,r)/r = \frac{n!}{r(n-r)!} P(n,r)/r=r(n−r)!n!
  
  圆桌 ≠ 项链：顺逆时针前者不同后者相同
- 递推： A n k = n A n − 1 n − 1 = A n − 1 k + k A n − 1 k − 1 A_n^k = nA_{n-1}^{n-1} = A_{n-1}^k + k A_{n-1}^{k-1} Ank=nAn−1n−1=An−1k+kAn−1k−1
无限重 k k k 元多重集 r r r 线性排列： k r k^r kr

循环排列： 1 r ∑ d ∣ r ϕ ( r d ) k d \frac{1}{r}\sum\limits_{d|r}\phi(\frac{r}{d}) k^d r1d∣r∑ϕ(dr)kd
有限 k k k 元多重集，重数为 n 1 , n 2 , ⋯ , n k n_1,n_2,\cdots,n_k n1,n2,⋯,nk，线性排列数： n ! n 1 ! n 2 ! ⋯ n k ! \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!} n1!n2!⋯nk!n!
- 证明：
  
  法一： A n n 1 A n − n 1 n 2 A n − n 1 − n 2 n 3 ⋯ A n − n 1 − ⋯ − n k − 1 n k = n ! / ∏ i n i ! A_{n}^{n_1}A_{n-n_1}^{n_2}A_{n-n_1-n_2}^{n_3}\cdots A_{n-n_1-\cdots - n_{k-1}}^{n_k}= n! /\prod_i n_i! Ann1An−n1n2An−n1−n2n3⋯An−n1−⋯−nk−1nk=n!/∏ini!
  
  法二： n n n 个元素指派到 k k k 个不同部分
- n n n 个不同元素分配到 k k k 个容量为 n 1 , n 2 , ⋯ , n k n_1,n_2,\cdots,n_k n1,n2,⋯,nk 的盒子，不计盒子顺序：仅当 n 1 = ⋯ = n k n_1 = \cdots=n_k n1=⋯=nk 成立 n ! k ! n 1 ! n 2 ! ⋯ n k ! \frac{n!}{k!n_1!n_2!\cdots n_k!} k!n1!n2!⋯nk!n!
- 生成方式： g ( x ) = ( 1 + x 1 + x 1 2 + ⋯ + x 1 n 1 ) ( 1 + x 1 + x 1 2 + ⋯ + x 1 n 2 ) ⋯ g(x) = (1+x_1+x_1^2+\cdots +x_1 ^ {n_1})(1+x_1+x_1^2+\cdots +x_1 ^ {n_2})\cdots g(x)=(1+x1+x12+⋯+x1n1)(1+x1+x12+⋯+x1n2)⋯

2）组合：顺序无关计数

n n n 元集 r r r 组合个数： C ( n , r ) = C n r = n ! ( n − r ) ! C(n,r)=C_n^r=\frac{n!}{(n-r)!} C(n,r)=Cnr=(n−r)!n!
无限 k k k 元多重集 r r r 组合： C r + k − 1 r C_{r+k-1}^r Cr+k−1r = C r + k − 1 k − 1 = C_{r+k-1}^{k-1} =Cr+k−1k−1

即 ∑ i = 1 k x i = r , x i ≥ 0 \sum\limits_{i=1}^ k x_i = r, x_i\ge 0 i=1∑kxi=r,xi≥0 的解数 a r a_r ar
```
 组合意义解法：使用隔板法解决生成函数法：$g(x) = \frac{1}{(1-x)^k}=\sum\limits_{r=0}^\infin a_r x^r$（[负二项式系数]()）
```
有限 k k k 元多重集，重数为 n 1 , n 2 , ⋯ , n k n_1,n_2,\cdots,n_k n1,n2,⋯,nk， r r r 组合：
1. 计算无限重情况下的组合数 S \mathbb{S} S
2. 将无限重换成有限重，计算 x i ≥ n i + 1 x_i\ge n_i + 1 xi≥ni+1 , ∑ i = 1 k x i = r \sum\limits_{i=1}^k x_i = r i=1∑kxi=r 的组合数 A i \mathbb{A}_i Ai
3. 由容斥原理，所求为 ⋂ i = 1 n A i ˉ \bigcap\limits_{i = 1} ^ n \bar{A_i} i=1⋂nAiˉ

思路：第一层——有序无序，第二层——是否有重复元素

S2 二项式系数

1）起源：帕斯卡三角形

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
……

2）组合数-格路径意义：从 (0,0) 到 (n,k)，限制每次只能到正下或斜右下，路径总数

3）二项式定理： ( x + y ) n = ∑ k = 0 n C n k x k y n − k (x+y)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^kx^ky^{n-k} (x+y)n=k=0∑nCnkxkyn−k

多项式定理： ( x 1 + x 2 + ⋯ + x k ) n = ∑ ( n n 1 n 2 ⋯ n k ) x 1 n 1 x 2 n 2 ⋯ x k n k (x_1+x_2+\cdots + x_k)^n = \sum {n \choose n_1 \ n_2 \ \cdots \ n_k}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_k^{n_k} (x1+x2+⋯+xk)n=∑(n1 n2 ⋯ nkn)x1n1x2n2⋯xknk
- 多项式系数： ( n n 1 n 2 ⋯ n k ) = n ! n 1 ! n 2 ! ⋯ n k ! {n \choose n_1 \ n_2 \ \cdots \ n_k} = \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!} (n1 n2 ⋯ nkn)=n1!n2!⋯nk!n!
- ( n n 1 n 2 ⋯ n k ) = ( n − 1 n 1 − 1 n 2 ⋯ n k ) + ( n − 1 n 1 n 2 − 1 ⋯ n k ) + ⋯ + ( n − 1 n 1 n 2 ⋯ n k − 1 ) {n \choose n_1 \ n_2 \ \cdots \ n_k} = {n - 1 \choose n_1 - 1\ n_2 \ \cdots \ n_k}+ {n - 1 \choose n_1 \ n_2 - 1 \ \cdots \ n_k}+ \cdots + {n - 1 \choose n_1 \ n_2 \ \cdots \ n_k - 1} (n1 n2 ⋯ nkn)=(n1−1 n2 ⋯ nkn−1)+(n1 n2−1 ⋯ nkn−1)+⋯+(n1 n2 ⋯ nk−1n−1)
广义二项式系数： C a k = { ∏ i = 0 k − 1 ( a − k ) k ! k ≥ 1 0 k = 0 C_a^k=\begin{cases} \frac{\prod\limits_{i = 0}^{k-1}(a-k)}{k!} & k\ge 1 \\ 0 & k = 0 \end{cases} Cak=⎩⎪⎨⎪⎧k!i=0∏k−1(a−k)0k≥1k=0
- 牛顿二项式定理： 0 < ∣ x ∣ < ∣ y ∣ , ( x + y ) a = ∑ k = 0 ∞ C a k x k y n − k 0\lt |x|\lt |y|,(x+y)^a=\sum\limits_{k=0}^\infin C_a^kx^ky^{n-k} 0<∣x∣<∣y∣,(x+y)a=k=0∑∞Cakxkyn−k
- 负二项式系数： C − n k = ( − 1 ) k C n + k − 1 k C_{-n}^k = (-1)^kC^k_{n+k-1} C−nk=(−1)kCn+k−1k
  - 负二项分布： 1 ( 1 − p x ) n = ∑ k = 0 ∞ C − n k ( − p x ) k = ∑ k = 0 ∞ C n + k − 1 k ( p x ) k \frac{1}{(1-px)^n}=\sum\limits_{k=0}^\infin C_{-n}^k(-px)^k = \sum\limits_{k=0}^\infin C_{n+k-1}^k(px)^k (1−px)n1=k=0∑∞C−nk(−px)k=k=0∑∞Cn+k−1k(px)k
    
    第 n n n 次成功前失败次数的分布

4）组合数恒等式：

C n r = C n n − r C_n^r = C_n^{n-r} Cnr=Cnn−r
r n C n r = C n − 1 r − 1 \frac{r}{n} C_n^r = C_{n-1}^{r-1} nrCnr=Cn−1r−1
∑ k = 0 n C n k = 2 n \sum\limits_{k=0}^nC_n^k = 2^n k=0∑nCnk=2n
- $$ ∑ k = 0 n k C n k = n 2 n − 1 \sum\limits_{k=0}^nkC_n^k = n2^{n-1} k=0∑nkCnk=n2n−1
- ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ C n 2 k + 1 = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ C n 2 k = 2 n − 1 \sum\limits_{k=0}^{\lfloor{n/2}\rfloor} C_n^{2k+1} = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor{n/2}\rfloor} C_n^{2k} = 2^{n-1} k=0∑⌊n/2⌋Cn2k+1=k=0∑⌊n/2⌋Cn2k=2n−1
- ∑ k = 0 n ( C n k ) 2 = C 2 n n \sum\limits_{k=0}^n (C_n^k)^2 = C_{2n}^n k=0∑n(Cnk)2=C2nn
  - ∑ k = 0 n C m 1 k C m 2 n − k = C m 1 + m 2 n \sum\limits_{k=0}^n C_{m_1}^kC_{m_2}^{n-k} = C_{m_1+m_2}^n k=0∑nCm1kCm2n−k=Cm1+m2n(Vandemonde卷积公式)
C n k = C n − 1 k + C n − 1 k − 1 C_n^k = C_{n-1}^k +C_{n-1}^{k-1} Cnk=Cn−1k+Cn−1k−1 (Pascal公式)
- C n + 1 p + 1 = ∑ k = 0 n C k p = ∑ k = 0 n C k k − p C_{n+1}^{p+1} = \sum\limits_{k=0}^n C_k^p = \sum\limits_{k=0}^nC_k^{k-p} Cn+1p+1=k=0∑nCkp=k=0∑nCkk−p
- C r + k + 1 k = ∑ i = 0 k C r + i i , r ∈ R C_{r+k+1}^k = \sum\limits_{i=0}^k C_{r+i}^{i} ,r\in R Cr+k+1k=i=0∑kCr+ii,r∈R
C n m C m k = C n k C n − m m − k C_n^mC_m^k = C_n^kC_{n-m}^{m-k} CnmCmk=CnkCn−mm−k

5）单峰性： C n 0 < ⋯ < C n ⌊ n / 2 ⌋ = C n ⌊ ( n + 1 ) / 2 ⌋ > ⋯ > C n n C_n^0\lt \cdots \lt C_n^{\lfloor n/2 \rfloor}=C_n^{\lfloor (n+1)/2 \rfloor}\gt\cdots\gt C_n^n Cn0<⋯<Cn⌊n/2⌋=Cn⌊(n+1)/2⌋>⋯>Cnn

S3 偏序

1）反链： n n n 元素集 S \mathbb{S} S 幂集的子集 A \mathscr{A} A，元素互不包含；

Sperner 定理： n n n 元集的任何反链至多包含 C n ⌊ n / 2 ⌋ C_n^{\lfloor n / 2 \rfloor} Cn⌊n/2⌋ 个集合；

记 A k \mathbb{A}_k Ak 为含有 k k k 个元素的子集，则最大反链由所有 { A k n = 2 k A k − 1 = A k + 1 n = 2 k − 1 \begin{cases} \mathbb{A}_k & n=2k\\ \mathbb{A}_{k-1} = \mathbb{A}_{k+1} & n=2k-1 \\ \end{cases} {AkAk−1=Ak+1n=2kn=2k−1 构成

2）链： n n n 元素集 S \mathbb{S} S 幂集的子集 A \mathscr{A} A，且构成其上一个全序 < A , ⊆ \mathscr{A} ,\sube A,⊆>

最大链：包含各种大小的集合各一个
- 若 ∣ K ∣ = k |\mathbb{K}|= k ∣K∣=k 则包含 K \mathbb{K} K 的最大链个数 k ! ( n − k ) ! k!(n-k)! k!(n−k)!

3）命题：反链与链至多只有一个公共元素由定义易得

4）推广：若 < X , ≤ \mathbb{X},\le X,≤>是有限偏序集：

定义推广：
- 链与反链： X \mathbb{X} X 的子集，反链中任意元素不可比，链中任意元素可比

性质：

X \mathbb{X} X 分成反链的个数的上确界 = 是最大链长度

X \mathbb{X} X 分成链的个数的上确界 = 最大反链大小(Dilworth 定理)

< P ( X ) , ⊆ \mathscr{P}(\mathbb{X}),\sube P(X),⊆>上的链剖分的归纳生成

  假设 $\mathbb{X}_n = \{1,2,\cdots,n\}$ 显然有 $\mathbb{X}_1$ 的链剖分：$\varnothing \sube \{1\}$     对 $\mathbb{X}_{n-1}$ 的每一条链 $\mathbb{A}_1\sube \mathbb{A}_2 \sube \cdots \sube \mathbb{A}_k$：$\mathbb{X}_n$ 的链剖分由两部分组成：$\mathbb{A}_1\sube \mathbb{A}_2 \sube \cdots \sube \mathbb{A}_k \sube \ \mathbb{A}_k\cup \{n\}$$\mathbb{A}_1 \cup \{n\} \sube \mathbb{A}_2  \cup \{n\}\sube \cdots \sube \mathbb{A}_{k-1} \cup \{n\}，k\ge 2$

至此给出了 Sperner 定理的一个构造性证明

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