背景

通常数值解微分方程、微分方程组（常微分、偏微分方程），人们言必称“Matlab”，COMSOL，实际上，微分方程求解有两大强手被人忽视：（1）符号求解独孤求败：Maple; （2）数值求解Mathematica更为好用而且强大。

拿个例子来练习和学习偏微分方程求解solver的用法。这里先看看Mathematica的有限元方法数值求解“波动方程”类型的偏微分方程的初边值问题。

问题

学软件最方便的是看文档，大部分情况下，没有比软件自带文档更权威的教材了。我这个例子是从文档偷出来的。

偏微分方程

∂2u(x,y,t)∂t2=∂2u(x,y,t)∂x2+∂2u(x,y,t)∂y2(1)

\frac{\partial^2 u\left(x,y,t\right)}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u\left(x,y,t\right)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u\left(x,y,t\right)}{\partial y^2}\tag{1}

求解所在的区间

求解该函数 u u所在的xoyxoy平面上的区域为非普通矩形的不规则区域（差分法常用的矩形网格无法使用）：

初边值条件

未知函数 u(x,y,t) u(x,y,t)二阶，而且有三个变量，经验判断初边值条件要有“四个”；左边界、右边界，0阶和一阶初值条件。

第一类边界条件，内边界和外边界上函数值都为0，

u(x,y,t)|(x,y)∈∂=0(2)

u\left(x,y,t\right)_{|(x,y)\in\partial}=0\tag{2}
用代码表示为：

DirichletCondition[u[x,y,t]==0,True]

这个实际包含了内部的圆和外部的圆两个边界条件，“一个顶两个”；

一阶和0阶初始条件：

u(x,y,0)=e−5((x−0.2)2+y2)(3)

u(x,y,0)=e^{-5\left(\left(x-0.2\right)^2+y^2\right)}\tag{3}

∂u(x,y,0t)∂t|t=0=0(4)

\frac{\partial u(x,y,0t)}{\partial t}_{|t=0}=0\tag{4}

求解利用FEM包载入即可。

波动方程解一个周期的可视化

求解的方法和代码还可以参考这里

跟COMSOL的对比

COMSOL是Matlab中pdetool相关代码至少早期版本的实际开发者。所以，使用Matlab的pdetool的图形用户界面时，会发现跟COMSOL中“数学形式的PDE”的Physics部分的界面非常类似、简直就是雷同。

不过我用COMSOL求解同一问题，发现效果很不理想，难道因为我是新手，COMSOL就特别歧视我吗？

我开始怀疑COMSOL计算的精度是不是总是这么低，总能导致一些因为误差而产生的虚假的波动？

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