带有不同粘性系数的稳态N-S方程的几种迭代有限元方法的latex模板

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\begin{CJK*}{GBK}{song} %宋体中文
\begin{Huge}
\title{带有不同粘性系数的稳态N-S方程\\的几种迭代有限元方法}

\author{xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx}
\end{Huge}
\begin{document}
\maketitle
\begin{LARGE}
1 文章简介\\
\end{LARGE}
\begin{large}%字体大小
\\文章中考虑了稳态的不可压缩的N-S方程\\
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
-\nu \triangle u +(u\cdot \nabla )u+\nabla p=f & in \Omega\\
divu=0 & in \Omega\\
u=0 & on \partial \Omega\\
\int_{\Omega}pdx=0 & in \Omega\\
\end{array}
\right.
\end{equation}

方程描述了在有边界的区域里面定义的稳态的不可压缩粘性牛顿流体。这里$\Omega $是一个有Lipschitz连续边界 $\partial \Omega$ 的有界区域$R^{d}$ ,$u:\Omega \rightarrow R^{d}$和$p:\Omega \rightarrow R$分别是速度和压力，$\nu$和$f$分别是粘性系数和作用力。\\
本文里，我们总是假设$( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}<1/4$。事实上，如果$( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2} \geq 1/4$,我们可以找到一个$\alpha$ 满足$\alpha ( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}<1/4$。
于是，文中的所有结果是在$\alpha ( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}<1/4$代替$( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}<1/4$的时候总是正确的。我们令$\sigma = N \| f \| _{-1}/\nu ^{2}$,这里$N$ 在$（5）$中定义，然后可以通过$0 < \delta <1 $或者$\nu ^{2}>N \| f \| _{-1}$描述这个独一无二的条件;这个强的独一性是$\| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2} \leq \delta <1$或者$\nu ^{2} \geq N \| f \| _{-1} /(1-( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2})$;弱的独一性条件是$0<\delta <( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2} $或者$N \| f \| _{-1}/(1-( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2})$。通常来讲，$\delta $被认为是固定的常数。文章中$\delta $可以取$(0,1)$中的任意值。\\

于是，对于小的$\sigma$ 满足强的独一性条件 $0<\sigma \leq ( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}$,我们设计了三个two-level 迭代有限元方法在一个网格大小为$H$的粗网格得到有限元的迭代解$(u_{H}^{m},p_{h}^{m})$，然后通过在一个网格大小$h<H$的细网格
解决Stokes,Newton和Oseen修正问题得到有限元的迭代解$(u_{mh},p_{mh})$。这里，当$0<\sigma \leq 1/4$,$(u_{H}^{m},p_{h}^{m})$是通过在粗网格上应用Stokes,Newton和Oseen方法$m$次迭代获得，当$1/4<\sigma \leq 1/3$,$(u_{H}^{m},p_{h}^{m})$是通过在粗网格上应用Newton和Oseen方法$m$次迭代获得，当$1/3<\sigma \leq 1-( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}$,$(u_{H}^{m},p_{h}^{m})$是通过在粗网格上应用Oseen$m$次迭代获得。而且，one-level
Oseen 有限元迭代方法是在弱的独一性条件下$1-( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}
< \sigma <1$的时候使用的。\\

\begin{LARGE}
2 N-S方程的函数设定\\
\end{LARGE}
\\令$\Omega $是$R^{d}$的一个凸多项式区域，我们引入下面的索伯列夫空间
$$X=H_{0}^{1}(\Omega)^{d},Y=L^{2}(\Omega)^{d},M=L_{0}^{2}(\Omega)={q \in L^{2}(\Omega):\int _{\Omega}q(x)dx}$$
我们用$(\cdot,\cdot),\|\|_{0}$表示内部作用和泛数，空间X有通常的标量作用$(\nabla u,\nabla v)$和$\| \nabla u \|_{0}$。泛数在索伯列夫空间$H^{k}(\Omega)$或者$H^{k}(\Omega)^{d}$中用$\|\cdot\|_{k}$表示，
半泛数在索伯列夫空间$H^{k}(\Omega)$或者$H^{k}(\Omega)^{d}$中用$|\cdot|_{k}$表示，我们在$X\times X$和$X \times M$定义连续的双线性形式$a(u,v)$和$d(u,v)$
$$a(u,v)=\nu (\nabla u,\nabla v),\quad \forall u,v\in X$$\\和\\
$$d(u,v)=(q,div\nu),\quad \forall (\nu,q) \in (X,M)$$
而且，我们定义三线性形式
$$b(u,v,w)=((u\cdot \nabla)v,u)+\frac{1}{2} ((divu)v,w)=\frac{1}{2}((u\cdot \nabla)v,w)-\frac{1}{2}((u\cdot \nabla)w,v) ,\forall u,v,w \in X$$
对于一个给定的$f \in L^{2}(\Omega)^{d}\quad problem(1)$ 可以被写成：求解$(u,p)\in (X,M)$满足
\begin{equation}
a(u,v)+d(u,v)-d(v,p)+b(u,u,v)=(f,v),\quad \forall (v,p)\in (X,M).
\end{equation}
我们关于Stokes问题作一个正则性的假设\\
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\假设$A_{0}.$
\end{CJK*}
对于给定的$g \in L^{2}(\Omega)^{d}$和Stokes问题
$$-\Delta \nu +\nabla q=g,\quad div \nu =0\quad in\Omega,\quad \nu |_{\partial \Omega}=0,$$
我们假设$(\nu ,q)$满足下面的正则化结果
\begin{equation}
\|A\nu\|_{0}+\|q\|_{1}\leq c\|g\|_{0},
\end{equation}
这里$A=-P\triangle$表示有着定义边界$D(A)={\nu \in (H^{2}(\Omega)\bigcap H_{0}^{1}(\Omega))^{d}:div\nu =0}$的Stokes算子，$P：Y\rightarrow H={\nu \in L^{2}(\Omega)^{d}:div\nu =0,\nu \cdot n|_{\partial \Omega}=0}$
表示$L^{2}$正交映射，$c$是依赖于$\Omega$的正常数并且在不同情况下可能代表不同的值。\\
有了以上注记，以下的估计就会成立
\begin{equation}
b(u,v,w)=-b(u,v,w),\quad \forall u \in X,\nu ,w \in X,
\end{equation}
\begin{equation}
|b(u,v,w)|\leq N\|\nabla u\|_{0}\|\nabla v\|_{0}\|\nabla w\|_{0}, \quad \forall u,v,w \in X
\end{equation}
这里$N$是依赖于$\Omega$的定正常数。
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\定理2.1.
\end{CJK*}
令$f\in X^{'},\nu$ 满足以下唯一性的条件:
\begin{equation}
0< \sigma = \frac{N}{\nu ^{2}}\|f\|_{-1}<1,
\end{equation}
式中
\begin{equation}
\|f\|_{-1}=\sup _{\nu \in X}\frac{(f,x)}{|\\nabla \nu|\_{0}}.
\end{equation}
这样，问题(2)存在唯一解$u \in X$和$p \in M$满足
\begin{equation}
\nu |\nabla u|\_{0}\leq \|f\|_{-1},\quad \|p\|_{0}\leq 3\beta ^{-1}\|f\|_{-1}.
\end{equation}
我们通过依赖于$\nu$和解$u,p$的正则性结果得到以下结论。
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\定理2.2.
\end{CJK*}
如果$f \in Y$,假设$A_{0}$和(6)成立，(2)的解满足以下：
\begin{equation}
\nu \|\nabla u\|_{0}+\|p\|_{0}\leq c \|f\|_{-1},\quad \nu \|Au\|_{0}+\|p\|_{0}\leq c \|f\|_{0}.
\end{equation}
\begin{LARGE}
\\3 Galerkin有限元逼近\\
\end{LARGE}
从现在开始，$H$是一个趋向于0的实的正参数。$\tau _{H}$是正则刨分，它把$\Omega$刨分成三角形元素或者直径被$H$限制的四边形。
根据刨分构造统一的速度-压力有限元空间$(X_{H},P_{H})$。之后，细的刨分$\tau _{h}$可以认为是粗刨分$\tau _{H}$的细化过程，然后就可以根据$\tau _{h}$构造统一的速度-压力有限元空间$(X_{h},P_{h})$。然而，我们没有必要为了保持定理的收敛性结果设计算法，因为我们都假设这是
可以简化我们分析过程而内嵌的了，也就是$(X_{H},P_{H})\subset (X_{h},P_{h}) \subset (X,P)$。进一步，我们假设$(X_{\mu},M_{\mu}),\mu = h或者H$满足通常的逼近性质。\\
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
假设$A_{1}：$
\end{CJK*}
存在一个映射$r_{\mu} \in \pounds (D{A};X_{\mu})$满足
$$\|\nabla (r_{\mu}-\nu)\|_{0} \leq c\mu \|A\nu\|_{0},\quad \forall \nu \in D(A);$$
正则映射算子$\rho _{u}:M \rightarrow M_{\mu}$满足:$$\|q-\rho _{u}q\| \leq c\mu \|q\|_{1} \quad \forall q \in H^{1}(\Omega)\bigcap M;$$
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
假设$A_{2}：$
\end{CJK*}
以下的不等式成立：
$$\|\nabla \nu _{\mu}\|_{0} \leq c\mu^{-1}\|\nu _{\mu}\|_{0}\quad \forall \nu _{\mu} \in X_{\mu}$$
和
$$\|\nu _{\mu}\|_{L^{\infty }} \ \leq c|ln\mu|^{\frac{1}{2}}\|\nabla \nu_{\mu}\|_{0} \quad \forall \nu_{\mu} \in X_{\mu} (d=2).$$
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
假设$A_{3}：$
\end{CJK*}
存在一个常数$\beta _{1} > 0$满足
$$\sup_{\nu_{\mu} \in X_{\mu}} \frac{d(\nu_{\mu},q_{\mu})}{\|\nabla \nu _{\mu}\|_{0}} \geq \beta_{1} \|q_{\mu}\|_{0}.$$
我们在满足假设$A_{1}到A_{3}$的空间$X_{\mu} 和 M_{\mu}$上给出几个例子。用$P_{1}(K)$表示在$K$上次数小于等于$l$的多项式空间。\\
\\\begin{CJK*}{GBK}{hei}
例子1:$Girault-Raviart$
\end{CJK*}
$$X_{\mu}={\nu_{\mu} \in C^{0}(\Omega)^{d}\bigcap X;\nu _{\mu | k} \in P_{2}(K)^{d},\forall K \in \tau _{\mu}}.$$
$$M_{\mu}={q_{u} \in M;q_{u|k} \in P_{0}(K),\forall K \in \tau _{u}}.$$
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
例子2:$Bercovier-Pironneau$:
\end{CJK*}
$$ X_{\mu}={\nu_{\mu} \in C^{0}(\Omega)^{d}\bigcap X; \nu _{\mu | k} \in P_{2}(K)^{d},\forall K \in \tau _{\mu}} $$
$$M_{\mu}={q_{u} \in C^{0}(\Omega)^{d}\bigcap M;q_{u|k} \in P_{1}(K),\forall K \in \tau _{u}}.$$

\begin{CJK*}{GBK}{hei}
例子3:$（mini-element）：$
\end{CJK*}
$b \in H^{1}_{0}(K)$在$K$的重心处取值1，满足$0\leq b(x) \leq 1$。令$P^{B}_{1,u}={\phi _{u} \in C^{0}(\Omega);v_{u|k} \in P_{1}(K)\bigoplus span{b},\forall K \in \tau _{u}},$定义
$$X_{u}=(P_{1,u}^{b})^{d}\bigcap X,\quad M_{u}={q_{u} \in C^{0}(\Omega) \bigcap M;q_{u|k} \in P_{1}(K),\forall k\in \tau _{u}}.$$
我们定义空间V的离散类似$$V_{u}={v_{u}\in X_{u};d(v_{u},q_{u})=0, \forall q_{u} \in M_{u}}$$
同样，我们也可以定义正交投影$P_{u}:L^{2}(\Omega)^{d}\rightarrow V_{u}$,通过
$$(p_{u}u,v_{u})=(u,v_{u}),\forall v_{u} \in V_{u}.$$
基于$(X_{u},M_{u})$的（2）的有限元Galerkin逼近可以写作：\\
寻找$(u_{u},p_{u}) \in (X_{u},M_{u})$满足对于任意的$(v,q) \in (X_{u},M_{u})$
\begin{equation}
a(u_{u},v)+d(u_{u},p)-d(v,p_{u})+b(u_{u},u_{u},v)=(f,v)
\end{equation}

\begin{CJK*}{GBK}{hei}
定理3.1:
\end{CJK*}
若假设$A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}$和唯一性条件（6）是成立的，则有限元的Galerkin逼近问题(10)有唯一解$(u_{u},p_{u}) \in (X_{u},M_{u})$满足
\begin{equation}
v\|\nabla u_{u}\|_{0} \leq \|f\|_{-1}.
\end{equation}
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
定理3.2:
\end{CJK*}
若假设$A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}$和唯一性条件（6）是成立的，则有限元的Galerkin逼近问题(10)有唯一解$(u_{u},p_{u}) \in (X_{u},M_{u})$满足以下的稳定性和误差估计：
\begin{equation}
v\|\nabla u_{u}\|_{0} \leq \|f\|_{-1}， \quad v\|A_{u}u_{u}\|_{0} \leq c \|f\|_{0}.
\end{equation}
而且，我们假设$u \leq (\|f\|_{-1}/\|f\|_{0})^{\frac{1}{2}}(1-\sigma)$是成立的。误差$(u-u_{u},p-p_{u})$满足如下的统一边界
\begin{equation}
(1-\sigma)v\|u-u_{u}\|_{0}+u(v\|\nabla (u-u_{u})\|_{0}+\|p-p_{u}\|_{0})\leq c u^{2}\|f\|_{0}
\end{equation}
\begin{LARGE}
\\4 2D/3D稳态N-S方程的迭代方法\\
\end{LARGE}
这一部分，我们回忆了一些迭代方法和他的稳定性质。\\
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
4.1 三种迭代方法\\
\end{CJK*}
我们首先回忆一下这三种迭代方法。\\
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
Stokes迭代：
\end{CJK*}
定义迭代的解$(u_{u}^{n},p_{u}^{n}) \in (X_{u},M_{u})$满足
\begin{equation}
a(u_{u}^{n},v)-d(v,p_{u}^{n})+d(u_{u}^{n},q)+b(u_{u}^{n-1},u_{u}^{n-1},v)=(f,v),\forall (v,q) \in (X_{u},M_{u})
\end{equation}

\begin{CJK*}{GBK}{hei}
Newton迭代：
\end{CJK*}
定义迭代的解$(u_{u}^{n},p_{u}^{n}) \in (X_{u},M_{u})$满足
\begin{equation}
a(u_{u}^{n},v)-d(v,p_{u}^{n})+d(u_{u}^{n},q)+b(u_{u}^{n-1},u_{u}^{n-1},v)+b(u_{u}^{n-1},u_{u}^{n},v)-b(u_{u}^{n-1},u_{u}^{n-1},v)=(f,v),
\forall (v,q) \in (X_{u},M_{u})
\end{equation}
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
Oseen迭代：
\end{CJK*}
定义迭代的解$(u_{u}^{n},p_{u}^{n}) \in (X_{u},M_{u})$满足
\begin{equation}
a(u_{u}^{n},v)-d(v,p_{u}^{n})+d(u_{u}^{n},q)+b(u_{u}^{n-1},u_{u}^{n-1},v)=(f,v),
\forall (v,q) \in (X_{u},M_{u})
\end{equation}
这里$(u_{u}^{0},p_{u}^{0})$定义为
\begin{equation}
a(u_{u}^{0},v)-d(v,p_{u}^{0},q)+d(u_{u}^{0},q)=(f,v), \forall (v,q) \in (X_{u},M_{u})
\end{equation}
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
定理4.1：
\end{CJK*}
在定理3.2 的假设下，如果$0 < \sigma \leq 1/4$,那么Stokes迭代定义的$(u_{u}^{m},p_{u}^{m}) $满足
$v\|\nabla u_{u}^{m} \|_{0}\leq 2\|f\|_{-1}, \quad v\|A_{u} u_{u}^{m} \|_{0}\leq c\|f\|_{0},$
$v\|\nabla (u_{u}-u_{u}^{m}) \|_{0}\leq (3\sigma)^{m}\|f\|_{-1},\quad \|p_{u}-p_{u}^{m}\|_{0} \leq c(3\sigma)^{m}\|f\|_{-1}.$
\\如果$0 < \sigma \leq 1/3$,那么Newton迭代定义的$(u_{u}^{m},p_{u}^{m}) $满足
$v\|\nabla u_{u}^{m} \|_{0}\leq 4/3\|f\|_{-1}, \quad v\|A_{u} u_{u}^{m} \|_{0}\leq c\|f\|_{0},$
$v\|\nabla (u_{u}-u_{u}^{m}) \|_{0}\leq (9/5 \sigma)^{m}\|f\|_{-1},\quad \|p_{u}-p_{u}^{m}\|_{0} \leq c(9/5\sigma)^{m}\|f\|_{-1}.$
\\如果$0 < \sigma \leq 1$,那么Oceen迭代定义的$(u_{u}^{m},p_{u}^{m}) $满足
$v\|\nabla u_{u}^{m} \|_{0}\leq \|f\|_{-1}, \quad v\|A_{u} u_{u}^{m} \|_{0}\leq c\|f\|_{0},$
$v\|\nabla (u_{u}-u_{u}^{m}) \|_{0}\leq (\sigma)^{m}\|f\|_{-1},\quad \|p_{u}-p_{u}^{m}\|_{0} \leq c(\sigma)^{m}\|f\|_{-1}.$\\
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\标注4.1：
\end{CJK*}
从以上定义看出，第一种比第三种迭代简洁，第三种比第二种更简洁。当$0 < \sigma \leq 1/4$时候，三种方法都是收敛，稳定的，收敛率分别是$(3\sigma)^{m},(9\sigma /5)^{2^{m}},\sigma^{m}$。
当$1/4 < \sigma \leq 1/3$时候，后面两种种方法都是收敛，稳定的，收敛率如上。当$1/3 < \sigma \leq 1$时候，第三种方法是唯一的选择。\\
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\4.2. $0<\sigma \leq 1/4$时候two-level 迭代方法：
\end{CJK*}
\\这一部分，考虑了基于粗网格上的迭代解和细网格上面的迭代修正的two-level方法。方法可以分解为如下两部：\\
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
步骤一:
\end{CJK*}
分别用三种迭代找到粗网格上面的迭代解$(u_{H}^{m},p_{H}^{m}) \in (X_{H},M_{H})$。\\
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
步骤二:
\end{CJK*}
分别用三种迭代找到一个精细解$(u_{h}^{m},p_{h}^{m}) \in (X_{h},M_{h})$。\\
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\修正一：
\end{CJK*}
通过Stokes迭代找到一个精细网格解$(u_{h}^{m},p_{h}^{m}) \in (X_{h},M_{h})$
\begin{equation}
a(u_{mh},v)-d(v,p_{mh})+d(u_{mh},q)+b(u_{H}^{m},u_{H}^{m},v)=(f,v),\forall (v,q) \in (X_{h},M_{h})
\end{equation}
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
修正二：
\end{CJK*}
通过Newton迭代找到一个精细网格解$(u_{h}^{m},p_{h}^{m}) \in (X_{h},M_{h})$
\begin{equation}
a(u_{mh},v)-d(v,p_{mh})+d(u_{mh},q)+b(u_{Hm},u_{H}^{m},v)+b(u_{H}^{m},u_{Hm},v)-b(u_{H}^{m},u_{H}^{m},v)=(f,v)
\end{equation}
$\forall (v,q) \in (X_{h},M_{h})$
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\修正三：
\end{CJK*}
通过Oseen迭代找到一个精细网格解$(u_{h}^{m},p_{h}^{m}) \in (X_{h},M_{h})$
\begin{equation}
a(u_{mh},v)-d(v,p_{mh})+d(u_{mh},q)+b(u_{Hm},u_{H}^{m},v)=(f,v),\forall (v,q) \in (X_{h},M_{h})
\end{equation}
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\引理4.2：
\end{CJK*}
在3.2的条件和$0 <\sigma \leq 1/4$,修正一的解满足
$$v\|\nabla u_{mh}\|_{0} \leq 2\|f\|_{-1},\quad v\|A_{h}u_{mh}\|_{0}\leq c \|f\|_{0};$$
修正二的解满足
$$v\|\nabla u_{mh}\|_{0} \leq \|f\|_{-1}+N\|u_{mh}-u_{H}^{m}\|_{0}^{2},\quad v\|A_{h}u_{mh}\|_{0}\leq c \|f\|_{0}+N\|u_{mh}-u_{H}^{m}\|_{0}^{2};$$
修正三的解满足
$$v\|\nabla u_{mh}\|_{0} \leq 2\|f\|_{-1},\quad v\|A_{h}u_{mh}\|_{0}\leq c \|f\|_{0}$$。
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\定理4.2：
\end{CJK*}
在引理4.2的前提下，在3D情况下，修正一三的解满足
$$v\|\nabla(u-u_{mh})\|_{0}+\|p-p_{mh}\|_{0} \leq c(h+H^{2}(\frac{\|f\|_{0}}{\|f\|_{-1}})^{1/2})+cv\|\nabla (u_{H}-u_{H}^{m})\|_{0}$$
修正二的解满足
$$v\|\nabla(u-u_{mh})\|_{0}+\|p-p_{mh}\|_{0} \leq c(h+H^{5/2}(\frac{\|f\|_{0}}{\|f\|_{-1}}))+cN\|\nabla (u_{H}-u_{H}^{m})\|_{0}$$
在2D的情况修正一二三的结果分别满足
$$v\|\nabla (u_{H}-u_{H}^{m})\| \leq (3\sigma)^{m}\|f\|_{-1}$$
$$v\|\nabla (u_{H}-u_{H}^{m})\| \leq (\sigma)^{m}\|f\|_{-1}$$
$$v\|\nabla (u_{H}-u_{H}^{m})\| \leq ((9/5)\sigma)^{2^{m}}\|f\|_{-1}$$
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\4.3 $1/4<\sigma \leq 1/3$时候two-level 迭代方法：
\end{CJK*}
\\考虑了粗网格上的迭代解和Stokes,Newton和Oceen在细网格上面的修正解。方法具体如下：\\
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\步骤一：
\end{CJK*}
通过Newton和Oceen迭代在粗网格上找到一个全局的解$(u_{H}^{m},p_{H}^{m}) \in (X_{H},M_{H})$。
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\步骤二：
\end{CJK*}
通过Stokes,Newton和Oceen迭代找到一个全局的精细解$(u_{h}^{m},p_{h}^{m}) \in (X_{h},M_{h})$。
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\引理4.3：
\end{CJK*}
在定理3.2和$1/4<\sigma \leq 1/3$的条件下，Stokes得到的修正解$(u_{mh},p(m,h))$满足
$$v\|\nabla u_{mh}\|_{0} \leq (5/3)\|f\|_{-1},\quad v\|A_{h}u_{mh}\|_{0}\leq c \|f\|_{0};$$
Newton到的修正解$(u_{mh},p(m,h))$满足
$$v\|\nabla u_{mh}\|_{0} \leq \|f\|_{-1}+N\|u_{mh}-u_{H}^{m}\|_{0}^{2},\quad v\|A_{h}u_{mh}\|_{0}\leq c \|f\|_{0}+N\|u_{mh}-u_{H}^{m}\|_{0}^{2};$$
修正三的解满足
\begin{equation}
v\|\nabla u_{mh}\|_{0} \leq 2\|f\|_{-1},\quad v\|A_{h}u_{mh}\|_{0}\leq c \|f\|_{0}
\end{equation}
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\定理4.3：
\end{CJK*}
在引理4.3的前提下，在3D情况下，修正一三的解满足
$$v\|\nabla(u-u_{mh})\|_{0}+\|p-p_{mh}\|_{0} \leq c(h+H^{2}(\frac{\|f\|_{0}}{\|f\|_{-1}})^{1/2})+cv\|\nabla (u_{H}-u_{H}^{m})\|_{0}$$
修正二的解满足
$$v\|\nabla(u-u_{mh})\|_{0}+\|p-p_{mh}\|_{0} \leq c(h+H^{5/2}(\frac{\|f\|_{0}}{\|f\|_{-1}}))+cN\|\nabla (u_{H}-u_{H}^{m})\|_{0}$$
在2D的情况修正二三的结果分别满足
$$v\|\nabla (u_{H}-u_{H}^{m})\| \leq (\sigma)^{m}\|f\|_{-1}$$
$$v\|\nabla (u_{H}-u_{H}^{m})\| \leq ((9/5)\sigma)^{2^{m}}\|f\|_{-1}$$

\begin{CJK*}{GBK}{hei}
4.4 ：$1/3<\sigma \leq 1-（\|f\|_{-1}/\|f\|_{0}）^{1/2}$时候two-level 迭代方法：
\end{CJK*}
\\考虑了粗网格上的迭代解和Stokes,Newton和Oceen在细网格上面的修正解.粗网格上的迭代解可以通过Oseen方法得到。
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\步骤一：
\end{CJK*}
通过Oceen迭代在粗网格上找到一个全局的解$(u_{H}^{m},p_{H}^{m}) \in (X_{H},M_{H})$。
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\步骤二：
\end{CJK*}
过Stokes,Newton和Oceen迭代找到一个全局的精细解$(u_{h}^{m},p_{h}^{m}) \in (X_{h},M_{h})$。
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
引理4.4：
\end{CJK*}
在定理3.2和$1/3 <\sigma \leq 1-(\|f\|_{-1}/\|f\|_{0})^(1/2)$的条件下，Stokes得到的修正解$(u_{mh},p(m,h))$满足
$$v\|\nabla u_{mh}\|_{0} \leq (5/3)\|f\|_{-1},\quad v\|A_{h}u_{mh}\|_{0}\leq c \|f\|_{0};$$
Newton到的修正解$(u_{mh},p(m,h))$满足
$$v\|\nabla u_{mh}\|_{0} \leq \|f\|_{-1}+N\|u_{mh}-u_{H}^{m}\|_{0}^{2},\quad v\|A_{h}u_{mh}\|_{0}\leq c \|f\|_{0}+N\|u_{mh}-u_{H}^{m}\|_{0}^{2};$$
Oceen得到的解满足
\begin{equation}
v\|\nabla u_{mh}\|_{0} \leq 2\|f\|_{-1},\quad v\|A_{h}u_{mh}\|_{0}\leq c \|f\|_{0}
\end{equation}
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\定理4.4：
\end{CJK*}
在引理4.4的前提下，在3D情况下，修正一三的解满足
$$v\|\nabla(u-u_{mh})\|_{0}+\|p-p_{mh}\|_{0} \leq c(h+H^{2}(\frac{\|f\|_{0}}{\|f\|_{-1}})^{1/2})+cv\|\nabla (u_{H}-u_{H}^{m})\|_{0}$$
修正二的解满足
$$v\|\nabla(u-u_{mh})\|_{0}+\|p-p_{mh}\|_{0} \leq c(h+H^{5/2}(\frac{\|f\|_{0}}{\|f\|_{-1}}))+cN\|\nabla (u_{H}-u_{H}^{m})\|_{0}$$
在2D的情况满足
$$v\|\nabla(u-u_{mh})\|_{0}+\|p-p_{mh}\|_{0} \leq c(h+|logh|H^{3}(\frac{\|f\|_{0}}{\|f\|_{-1}}))+cN\|\nabla (u_{H}-u_{H}^{m})\|_{0}$$
这里$$v\|\nabla(u_{H}-u_{H}^{m})\|_{0} \leq \sigma ^{m}\|f\|_{-1}$$.
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
4.5 ：$1-（\|f\|_{-1}/\|f\|_{0}）^{1/2} \leq \sigma < 1$时候Oseen 迭代方法：\\
\end{CJK*}
对于大一些的$\sigma$,$1-（\|f\|_{-1}/\|f\|_{0}）^{1/2} \leq \sigma < 1$,从定理4.1知道只有Oseen是稳定收敛的。
这里我们基于网格大小$h \leq (\|f\|_{-1}/\|f\|_{0})^{1/2}(1-\sigma)$的细网格考虑one-level Oseen有限元迭代去解决2D/3D稳态的N-S方程。\\
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
步骤：
\end{CJK*}
利用Oseen方法进行细网格刨分得到解$(u_{h}^{m},p_{h}^{m})=(u_{mh}，p_{hm})\in (X_{h},M_{h})$.
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
定理4.5 ：
\end{CJK*}
在定理3.2和$1-（\|f\|_{-1}/\|f\|_{0}）^{1/2} \leq \sigma < 1$的条件下，通过Oseen方法迭代得到的$(u_{mh},p_{mh})$满足以下的稳定性和误差估计
$$v\|\nabla u_{mh}\| \leq \|f\|_{-1},\quad v\|A_{h}u_{mh}\|_{0} \leq c\|f\|_{0},$$
$$v\|\nabla (u-u_{mh})\|_{0}+\|p-p_{mh}\|_{0} \leq ch \|f\|_{0}+c\sigma^{m}\|f\|_{-1}.$$
3113054006
在条件$1-（\|f\|_{-1}/\|f\|_{0}）^{1/2} \leq \sigma < 1$下，$1-\sigma$可能会很小。从定理3.2中，我们仅仅能够得到有限元解$u_{h},u_{H}$的收敛率：
$$(1-\sigma)v\|u-u_{h}\|_{0}+u(v\|\nabla (u-u_{u})\|_{0}+\|p-p_{u}\|_{0}) \leq cu^{2}\|f\|_{0}$$
这里$u=h$,H应当满足收敛条件$u \leq c（1-\sigma）$.于是我们不能推导出$\|u_{h}-u_{H}\| \leq cH^{2}$.
所以我们不能得到如下的收敛率$O(h+H^{2}+\sigma ^{2m})$。
\begin{CJK*}{GBK}{hei}
\\最后：数值试验见文件夹的FreeFem++程序.
\end{CJK*}

\end{large}
\end{CJK*}

\end{document}

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