题面

时间限制：1s，空间限制：1024MB

题目描述

手拿咒刃砍金门，众神直呼不是人

椅子玩自定义咒刃，一路打到了第三关的银行，祂想在黑色大桥无伤看守者之前找点刺激的。

加了模组的银行极大。具体地说，这一关有 nnn 个战斗场景按顺序排成一行，依次编号为 1∼n1\sim n1∼n ，椅子一开始在第一个战斗场景，而黑色大桥在第 nnn 个场景之后。

每个场景在开头有个金门，每个金门里有一把咒刃，每个场景都有一只怪（细胞三爹：拳皇，鸡哥，三刀哥）。

第 iii 个场景的咒刃有四个属性：第一刀伤害 bib_ibi，后摇 kik_iki ，加速条件杀敌数 aia_iai ，加速范围 did_idi 。

由于上一关的咒刃等级太低，所以椅子必须得砍第一个金门拿到第一把咒刃。除此之外，椅子在后面的任意场景开头都可以砍金门，获得新的咒刃，并用那把咒刃直到下一次砍金门或者到达黑色大桥。

刚拿到第 iii 个场景的咒刃时，第一刀会非常刺激，产生 bib_ibi 刺激度，但后摇会降低刺激度 kik_iki，直到开始加速。当拿这把刀杀敌数达到 ai−dia_i-d_iai−di 时，刺激度会呈朝下的抛物线（二次项系数为 111）变化，杀敌数 aia_iai 时到达顶点，此后刺激度开始降低。一直到杀敌数 ai+dia_i+d_iai+di 时，由于长时间保持无伤打怪，刺激度随着疫病上来了，此后又呈二次函数上升……

具体地说，如果带上第 lll 个金门的咒刃一直打到第 rrr 场景结束，将会产生 fl(r−l+1)f_l(r-l+1)fl(r−l+1) 的刺激度。函数 fi(x)f_i(x)fi(x) 定义如下：
fi(x)={−kix+bi(x≤ai−di)−ki(ai−di)+bi+di2−(ai−x)2(ai−di<x<ai+di)−ki(ai−di)+bi+(x−(ai+di))2(x≥ai+di)f_i(x)=\begin{cases} -k_ix+b_i~~&~(x\leq a_i-d_i)\\ -k_i(a_i-d_i)+b_i+d_i^2-(a_i-x)^2~~&~(a_i-d_i<x<a_i+d_i)\\ -k_i(a_i-d_i)+b_i+(x-(a_i+d_i))^2~~&~(x\geq a_i+d_i) \end{cases} fi(x)=⎩⎪⎨⎪⎧−kix+bi −ki(ai−di)+bi+di2−(ai−x)2 −ki(ai−di)+bi+(x−(ai+di))2 (x≤ai−di) (ai−di<x<ai+di) (x≥ai+di)

形状类似下图：

开了新的金门后，先前的刺激度会停止变化，随后刺激度将加上新的咒刃带来的刺激度。也就是说，把每一把咒刃带来的刺激度累加就是总刺激度。

椅子希望找到一种合适的砍金门方案，使得最终总刺激度最大。但是祂正在直播，所以把这个问题交给了你。

请输出最大总刺激度。

输入格式

第一行一个数字 nnn ，后面 nnn 行，每行四个数字 ki,ai,bi,dik_i,a_i,b_i,d_iki,ai,bi,di ，如题意。每个数字之间用单个空格分隔。

nnn

k1a1b1d1k_1~a_1~b_1~d_1k1 a1 b1 d1

k2a2b2d2k_2~a_2~b_2~d_2k2 a2 b2 d2

.........

knanbndnk_n~a_n~b_n~d_nkn an bn dn

输出格式

一行一个数字，表示最大总刺激度。

样例输入

样例输出

提示

依次拿第 1,3,51,3,51,3,5 把咒刃，可以获得最大刺激度 8+11+4=238+11+4=238+11+4=23 。

符合数据 6~10 的特殊限制

符合数据 16~20 的特殊限制

数据范围

对于所有数据，1≤ki,bi≤106,1≤di≤ai≤n≤1061\leq k_i,b_i\leq 10^6,1\leq d_i\leq a_i\leq n\leq 10^61≤ki,bi≤106,1≤di≤ai≤n≤106 .

测试点编号	n≤n\leqn≤	特殊限制
1~5	5×1035\times10^35×103	无
6~10	10610^6106	ai=di=na_i=d_i=nai=di=n
11~15	10510^5105	无
16~20	10610^6106	ai+di≥na_i+d_i\geq nai+di≥n
21~25	10610^6106	无

暖心提醒：本题的输入量较大（甚至用 std::scanf() 都会有小概率卡常），请使用较快的读入方式。

题解

法 1

通用解法

60pts

观察这个函数的三个部分

直线
（二次项系数均为 -1 的）抛物线
（二次项系数均为 1 的）抛物线

当然，为了 DP 转移，我们得在常数项上加上左边的 DP 值。

我们发现，这三者都可以单独用李超线段树维护最大值。

李超线段树可以合理维护的函数，只需要满足两个函数最多只有一个交点（或者延伸至无穷的一段区间）。

所以，每次在特定区间添加函数，用李超线段树维护单点最大值，时间复杂度 O(nlog⁡2n)O(n\log^2n)O(nlog2n) 。

80 pts

或许并不需要限制函数的作用区间。

比如说前两个函数，由于直线的斜率一定为负，所以在 x≤ai−dix\leq a_i-d_ix≤ai−di 时，直线本就比抛物线更优。同理，抛物线在 x∈(ai−di,ai+di)x\in(a_i-d_i,a_i+d_i)x∈(ai−di,ai+di) 时比直线更优。

如果只有这前两个函数，就可以直接添加进全区间，复杂度就保证是 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn) 。

100 pts

我们看第三个函数，一个向上的抛物线，把它补全的话，前面一定比前两个函数高了。

但是我们可以人工构造一个分段函数。
Ci(x)={−ki(ai−di)+bi(x<ai+di)−ki(ai−di)+bi+(x−(ai+di))2(x≥ai+di)C_i(x)=\begin{cases} -k_i(a_i-d_i)+b_i &~(x<a_i+d_i)\\ -k_i(a_i-d_i)+b_i+(x-(a_i+d_i))^2~~&~(x\geq a_i+d_i) \end{cases} Ci(x)={−ki(ai−di)+bi−ki(ai−di)+bi+(x−(ai+di))2 (x<ai+di) (x≥ai+di)

而这个函数是可以用李超树维护的。

当然，这个分段函数怎么构造都行，满足条件就够了，比如 std 就是添加了一条斜率为 1 的直线（定义在整数域上的该二次函数可以认为底部导数为 1 ）。

所以，令
Ai(x)=−kix+bi,Bi(x)=−ki(ai−di)+bi+di2−(ai−x)2A_i(x)=-k_ix+b_i~~,~~B_i(x)=-k_i(a_i-d_i)+b_i+d_i^2-(a_i-x)^2 Ai(x)=−kix+bi , Bi(x)=−ki(ai−di)+bi+di2−(ai−x)2

那么 fi(x)=max⁡{Ai(x),Bi(x),Ci(x)}f_i(x)=\max\{A_i(x),B_i(x),C_i(x)\}fi(x)=max{Ai(x),Bi(x),Ci(x)} 。

DP 的转移式就可以变成
dp[i]=max⁡j<i{dp[j]+Aj+1′(i),dp[j]+Bj+1′(i),dp[j]+Cj+1′(i)}dp[i]=\max_{j<i}\{dp[j]+A'_{j+1}(i),dp[j]+B'_{j+1}(i),dp[j]+C'_{j+1}(i)\} dp[i]=j<imax{dp[j]+Aj+1′(i),dp[j]+Bj+1′(i),dp[j]+Cj+1′(i)}

我们单独维护三种函数的“凸包”，时间复杂度 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn) 。

法 2

观察到 (r−l+1)2=r2+(l−1)2−2(l−1)r(r-l+1)^2=r^2+(l-1)^2-2(l-1)r(r−l+1)2=r2+(l−1)2−2(l−1)r ，我们把 r2r^2r2 甩到 max⁡{}\max\{\}max{} 外面，可以把二次项都除掉，它就变成了一个一次函数！

于是我们直接拿三个李超树维护这三段一次函数，

由于第三段直接加会影响到前两段，但是第三段的作用区间是 [l−1+al+dl,n][l-1+a_l+d_l,n][l−1+al+dl,n] ，而我们做DP是从左到右的，所以我们可以在 l−1+al+dll-1+a_l+d_ll−1+al+dl 处打个标记，扫到了那里再加第三段。

时间复杂度 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn) ，各方面吊打标算。

CODE(std)

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<random>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<unordered_map>
#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define ENDL putchar('\n')
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
#define PR pair<LL,int>
int xchar() {static const int maxn = 1000000;static char b[maxn];static int pos = 0,len = 0;if(pos == len) pos = 0,len = fread(b,1,maxn,stdin);if(pos == len) return -1;return b[pos ++];
}
#define getchar() xchar()
LL read() {LL f = 1,x = 0;int s = getchar();while(s < '0' || s > '9') {if(s<0)return -1;if(s=='-')f=-f;s = getchar();}while(s >= '0' && s <= '9') {x = (x<<1) + (x<<3) + (s^48);s = getchar();}return f*x;
}
void putpos(LL x) {if(!x)return ;putpos(x/10);putchar((x%10)^48);}
void putnum(LL x) {if(!x) {putchar('0');return ;}if(x<0) putchar('-'),x = -x;return putpos(x);
}
void AIput(LL x,int c) {putnum(x);putchar(c);}int n,m,s,o,k;
int a[MAXN],b[MAXN],ki[MAXN],d[MAXN];
inline LL Max(LL a,LL b) {return a>b ? a:b;}
struct it{LL a,b,c;LL k,d;int ad;it(){a=b=k=ad=0;c=d=-5e18;}LL F(int x) {if(x <= ad) return k*x+d;return a*x*x + b*x + c;}
}tre[MAXN*6];
int ls[MAXN*6],rs[MAXN*6],cnt;
void addtree(int &a,int al,int ar,it y) {if(!a) tre[a=++cnt] = it(),ls[cnt]=rs[cnt]=0;LL l1 = tre[a].F(al),r1 = tre[a].F(ar);LL l2 = y.F(al),r2 = y.F(ar);if(l1 >= l2 && r1 >= r2) return ;if(l1 <= l2 && r1 <= r2) {tre[a]=y;return ;}int md = (al + ar) >> 1;if(tre[a].F(md) <= y.F(md)) swap(tre[a],y),swap(l1,l2);if(l1 >= l2) addtree(rs[a],md+1,ar,y);else addtree(ls[a],al,md,y);return ;
}
LL findtree(int a,int x,int al,int ar) {if(al > x || ar < x || !a) return (LL)-5e18;LL res = tre[a].F(x); int md = (al + ar) >> 1;if(al == ar) return res;return Max(res,Max(findtree(ls[a],x,al,md),findtree(rs[a],x,md+1,ar)));
}
LL dp[MAXN];
int main() {freopen("blackbridge.in","r",stdin);freopen("blackbridge.out","w",stdout);n = read();dp[0] = 0;int r1 = 0,r2 = 0,r3 = 0;for(int i = 1;i <= n;i ++) {ki[i] = read();a[i] = read(); b[i] = read(); d[i] = read();it s1,s2,s3;s1.k = -ki[i]; s1.d = dp[i-1] + b[i] + ki[i]*1ll*(i-1);s1.ad = n+1;s2.a = -1; s2.ad = 0;s2.c = -ki[i]*1ll*(a[i]-d[i]) + b[i] + dp[i-1] + d[i]*1ll*d[i] - (a[i]+i-1)*1ll*(a[i]+i-1);s2.b = (a[i]+i-1)*2;s3.a = 1; s3.ad = a[i] + d[i] + i-1;s3.b = -2ll*(a[i]+d[i]+i-1);s3.c = -ki[i]*1ll*(a[i]-d[i]) + b[i] + dp[i-1] + s3.ad*1ll*s3.ad;s3.d = -ki[i]*1ll*(a[i]-d[i]) + b[i] - s3.ad + dp[i-1];s3.k = 1;addtree(r1,1,n,s1);addtree(r2,1,n,s2);addtree(r3,1,n,s3);dp[i] = Max(Max(findtree(r1,i,1,n),findtree(r2,i,1,n)),findtree(r3,i,1,n));}AIput(dp[n],'\n');return 0;
}

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