公比为无理数的等比数列的近似表示
在工程上,经常能够看到公比为无理数的等比数列。如照相机相邻2级的光圈比为2的1/2次方。八度音节相邻2个半音的频率比为2的1/12次方。在天文学上,相邻2个星等的亮度差为100的1/5次方。
我们知道,无理数是不可以表示为p/q的形式(这里p和q都是正整数)。但是,在某些情况下,并不严格要求相邻2项的比绝对相等,只要近似相等就可以了,这里我们用理数来拟合这个数列。下面给出我计算得到的公比为2的1/2,1/3,1/4,1/5的几个数列。
1. 公比为2^(1/2)
2=(7/5) * (10/7)
例如,数列5,7,10,14,20,28,40,56,80
2. 公比为2^(1/3)
2=(50/40) * (64/50)* (80/64)
=(50/40) * (63/50)* (80/64)
=(204/162) * (257/204)* (327/257)
例如,对应第2个公式的数列为40, 50 , 63 , 80,100,126
3. 公比为2^(1/4)
2=(132/111) * (157/132)* (187/157)* (222/187)
4. 公比为2^(1/5)
2=(510/444) * (586/510)* (673/586)* (773/673) * (888/773)
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