因子和，因子数，1到n的因子和，1到n的因子数（积性函数）
1 - 求n的因子和
因子和函数σ定义为整数n的所有正因子之和，记为σ(n) 它是一个积性函数
首先对n进行因子分解 (因子分解代码附后)
n = p1^a1 * p2^a2 * ~~~ * px ^ ax
σ(n) =((p1^(a1+1)-1)/(p1-1) * ((p2^(a2+1)-1)/(p2-1) * .... * ((pj^(aj+1)-1)/(pj-1)) = Π(j=1 -> x) (pj^(aj+1)-1)/(pj-1)
Π:表示乘积的符号
举个例子： 12 = 2^2 * 3^1 = p1^a1 * p2^a2 (p1 = 2; a1 = 2; p2 = 3; a2 = 1)
而 12的因子有 1 2 3 4 6 12
1 = 2^0 * 3^0
2 = 2^1 * 3^0
3 = 2^0 * 3^1
4 = 2^2 * 3^0
6 = 2^1 * 3^1
12 = 2^2 * 3^1
左边加起来 = 1+2+3+4+6+12 = 28 = (2^0 + 2^1 + 2^2) * (3^0 + 3^1) = 右边
(2^0 + 2^1 + 2^2) 是一个首项为1，公比为2的等比数列
(3^0 + 3^1) 是一个首项为1 ， 公比为3的等比数列
因为我们对n进行算数分解 所以不可能出现公比为1的情况
根据等比数列求和公式 (1 - q^n) / (1-q)
分子分母同时乘-1 (q^n - 1) / (q - 1)
因为第一项是从0开始的 所以 对于pi ^ ai 它的前n项和为 (pi^(ai+1) - 1) / (pi - 1)
所以 σ(n) = Π(i=1 -> x) (pi^(ai+1)-1)/(pi-1)
2 - 求n的因子个数
因子个数函数τ定义为正整数n的所有正因子个数，记为τ(n)
τ(n) = (b1+1) * (b2+1) * ... * (bs+1) = Π(i=1 -> s) (bi + 1)
举个例子~~~
首先还是对n进行因子分解
n = 12
则 12 = 2^2 * 3^1
// 12 的因子有 1 2 3 4 6 12 首先2对因子的贡献有3个 3对因子的贡献有2个 (这里有问题 有时间了在改)
所以 τ(n) = (b1+1) * (b2+1)
3 - 因子分解
//n等于1的时候无法分解
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
# define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
int prime[100010]; // 存素数
bool vis[100010];
int numprime; // 素数表的个数
void doprime(int n){mst(vis, 0);mst(prime, 0);for(int i = 2; i <= n; i++){if(!vis[i]){prime[numprime++] = i;}for(int j = 0; j <numprime && i *prime[j] <= n; j++){vis[i * prime[j]] = true;if(i % prime[j] == 0){break;}}}
}
LL a[1060]; /// 保存素因子
int b[1060]; /// 保存素因子的个数
int cnt;
void suanshu(long long n)
{cnt=0; /// 从0开始的memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));for(int i = 0; i < numprime && prime[i] * prime[i] <= n; i++){if(n % prime[i] == 0){a[cnt] = prime[i];while(n % prime[i] == 0){b[cnt]++;n /= prime[i];}cnt++;}}if(n!=1){a[cnt] = n;b[cnt++] = 1;}
}int main(){doprime(100010);int n;while(cin>> n){suanshu(n);for(int i = 0; i < cnt; i++){cout<<a[i]<<" ^ "<< b[i]<<" ";}cout<<endl;}return 0;
}
sqrt(n)算法：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;#define e exp(1)
#define pi acos(-1)
#define mod 1000000007
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}int main()
{int T;scanf("%d",&T);while(T--){ll n;scanf("%lld",&n);int sum=0;n--;for(ll i=1; i<=sqrt(n); i++){if(n%i==0&&n/i==i)sum++;else if(n%i==0&&n/i!=i)sum+=2;}printf("%d\n",sum);}return 0;
}3 - 求1到n的因子和的和
1.
ll get(ll x,ll n){ll a=n/x;ll b=n/(x+1)+1;return (a+b)*(a-b+1)/2*x;
}
ll x(ll n)
{ll ans=0;for(ll i=1;i*i<=n;i++){ll a=i;ll b=n/a;ans+=get(a,n);if(b!=a) ans+=get(b,n);}if(n==0) ans=0;return ans;
}2.这个不好口述，尽量解释清楚
还是以12为例
则 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
因子 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 2 5 2 7 2 9 2 11 2
4 3 4 5 3
6 8 10 6
12
则 ans = σ(1) + σ(2) + ---- + σ(12)
= 12*1 + 6*2 + 4*3 + 3*4 + 2*5 + 2*6 + 1*7 + 1*8 + 1*9 + 1*10 + 1*11 + 1*12
= Σ(1 -> n) (n/i) * i 注： 这里的/ 是整除的意思
然后我们这样看
ans = 12*1 + 6*2 + 4*3 + 3*4 + 2*(5+6) + 1*(7+8+9+10+11+12)
则对于每一个 n/i 都有一个范围
n/i 范围[l, r] 当前n/i 在范围内 对ans的贡献是
12 [1,1] 12 * 1
6 [2,2] 6 * 2
4 [3,3] 4 * 3
3 [4,4] 3 * 4
2 [5,6] 2 * (5 + 6)
1 [7,12] 1 * (7 + 8 + --- + 12) 对于 7+--+8 等差数列求和 n(a1+an)/2
可以发现 每一个l等于上一个r+1 而r = n/(n/l) (这里可能不好想-^-^-也就是积性函数（可看积性函数的一些函数）,就是数论的分块，我是这么想的，)
则代码。。。
(j-i+1)*(i+j)/2相当于n(a1+an)/2
ll x(ll n)
{ll ans=0,j;for(ull i=1;i<=n;i=j+1){j=n/(n/i);ans+=(j-i+1)*(i+j)/2*(n/i);}return ans;
}4 - 求1到n的因子个数的和
还是以12为例
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
因子个数 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6
ans = τ(1) + τ(2) + τ(3) + τ(4)+ τ(5)+ τ(6)+ τ(7)+ τ(8)+ τ(9)+ τ(10)+ τ(11) + τ(12)
= 1 + 2 + 2 +3 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3 + 4 + 2 + 6
= 1 * 1 + 2 * 5 + 3 * 2 + 4 * 3 + 6 * 1
= Σ(1 -> n) (n/i)
代码：
// light oj 1245
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL X(LL n)
{LL l, r;LL ans = 0;for( l = 1; l <= n; l = r+1){r = n/(n/l);ans += n/l * (r - l + 1);}return ans;
}
int main(){int t;cin>>t;int Case =1;while(t--){LL x;cin>> x;printf("Case %d: %lld\n",Case++,X(x));}
}
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