1 量子纯态纠缠熵

假设张三李四的偶量子态(Bipartite Quantum State, BQS)如下所示：
∣ψ⟩=∑ijαij∣i⟩A∣j⟩B|\psi\rangle=\sum_{ij}\alpha_{ij}|i\rangle_A|j\rangle_B∣ψ⟩=ij∑αij∣i⟩A∣j⟩B其纠缠熵(Entanglement Entrophy)如下所示：
E(∣ψ⟩)=S(ρA)=S(ρB)=H([[λ0]2,…,[λn−1]2]⊤)E(|\psi\rangle)=S(\rho^A)=S(\rho^B)=\\H([[\lambda_0]^2,\dots,[\lambda_{n-1}]^2]^\top)E(∣ψ⟩)=S(ρA)=S(ρB)=H([[λ0]2,…,[λn−1]2]⊤) 其中，H()H()H()是香农熵(Shannon entropy)；[[λ0]2,…,[λn−1]2]⊤[[\lambda_0]^2,\dots,[\lambda_{n-1}]^2]^\top[[λ0]2,…,[λn−1]2]⊤是其施密特(Schmidt)分解A=αijA=\alpha_{ij}A=αij的概率分布；S(ρA)S(\rho^A)S(ρA)是张三的约化密度矩阵的冯纽曼熵(von Neumann Entropy)。约化密度矩阵见量子计算 4 推送内容。

1.1 施密特(Schmidt)分解

对于∣ψ⟩=∑ijαij∣i⟩A∣j⟩B|\psi\rangle=\sum_{ij}\alpha_{ij}|i\rangle_A|j\rangle_B∣ψ⟩=∑ijαij∣i⟩A∣j⟩B，系数A=αijA=\alpha_{ij}A=αij可通过特征值分解为UΛV†U\Lambda V^\daggerUΛV†，则U†AV=ΛU^\dagger A V=\LambdaU†AV=Λ，说明张三李四可通过自己局部的酉变换进行基变换，最终将该量子态转化成：
∑iλi∣vi⟩∣wi⟩\sum_{i}\lambda_i|v_i\rangle |w_i\ranglei∑λi∣vi⟩∣wi⟩ 其中∣vi⟩|v_i\rangle∣vi⟩和∣wi⟩|w_i\rangle∣wi⟩分别为正交基，但不一定互相正交。于是，在{∣vi⟩,∣wi⟩}\{|v_i\rangle,|w_i\rangle\}{∣vi⟩,∣wi⟩}基下测量时概率分布为[[λ0]2,…,[λn−1]2]⊤[[\lambda_0]^2,\dots,[\lambda_{n-1}]^2]^\top[[λ0]2,…,[λn−1]2]⊤。

1.2 香农熵(Shannon entropy)

对经典概率分布P=[p0,…,pn−1]⊤P=[p_0,\dots,p_{n-1}]^\topP=[p0,…,pn−1]⊤，其香农熵为：
H(P)=∑i=0n−1pilog⁡21piH(P)=\sum_{i=0}^{n-1}p_i\log_2\frac{1}{p_i}H(P)=i=0∑n−1pilog2pi1 其越大说明信息不确定性越强，当事件完全确定时为零，当n=2n=2n=2时，其香农熵最大为1。

1.3 冯纽曼熵(von Neumann Entropy)

于是将混合态或纯态的密度矩阵ρ\rhoρ所对应的冯纽曼熵(von Neumann Entropy)定义为：
S(ρ)=∑i=0n−1γilog⁡21γiS(\rho)=\sum_{i=0}^{n-1}\gamma_i\log_2\frac{1}{\gamma_i}S(ρ)=i=0∑n−1γilog2γi1 其中γi\gamma_iγi为ρ\rhoρ的密度矩阵。即将密度矩阵对角化，其对角线值表达的概率分布的香农熵记为冯纽曼熵(von Neumann Entropy)。

用不同的基进行测量，密度矩阵会给出不同的概率分布，冯纽曼熵(von Neumann Entropy)可以看成是这些概率分布里面最小的香农熵，即不确定性最小的基（最接近真实量子态的基），测量得到的结果：
S(ρ)=min⁡UH(diag(UρU†))S(\rho)=\min_{U}H(\text{diag}(U\rho U^\dagger))S(ρ)=UminH(diag(UρU†)) 比如对量子态∣+⟩|+\rangle∣+⟩，如果在{∣0⟩,∣1⟩}\{|0\rangle, |1\rangle\}{∣0⟩,∣1⟩}下测量的化，结果是一半一半的概率，香农熵为1，如果在{∣+⟩,∣−⟩}\{|+\rangle, |-\rangle\}{∣+⟩,∣−⟩}测量，结果就是确定的，香农熵为0，所以对于确定的∣+⟩|+\rangle∣+⟩，其冯纽曼熵(von Neumann Entropy)为0；
同样的，对于maximally mixed state, 其密度矩阵为I2\frac{I}{2}2I，其冯纽曼熵(von Neumann Entropy)为1。

1.4 纠缠熵示例

E(∣ψ⟩)=S(ρA)=S(ρB)=H([[λ0]2,…,[λn−1]2]⊤)E(|\psi\rangle)=S(\rho^A)=S(\rho^B)=\\H([[\lambda_0]^2,\dots,[\lambda_{n-1}]^2]^\top)E(∣ψ⟩)=S(ρA)=S(ρB)=H([[λ0]2,…,[λn−1]2]⊤)

对于量子态∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩的纠缠熵，可以通过张三李四的约化密度矩阵，即其子系统来计算，即在张三自己测量了之后，李四的密度矩阵所表达的量子态的不确定性表达了张三李四的纠缠程度，如果李四的密度矩阵的冯纽曼熵(von Neumann Entropy)为0，即一个确定的量子纯态，那说明俩人也没啥纠缠了；也可以通过其BQS系数的施密特分解对应的概率来计算，如找到两个测量基{vi,wi}\{v_i,w_i\}{vi,wi}分别对张三李四测量的概率都是1，那说明两者都是一个确定的状态，两者没有纠缠，熵也是0。这两种情况的计算是相同的；
对于没有纠缠的∣ψ⟩1⊗∣ψ⟩2|\psi\rangle_1\otimes |\psi\rangle_2∣ψ⟩1⊗∣ψ⟩2其纠缠熵为零；对于Bell pair ∣00⟩+∣11⟩2\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt2}2∣00⟩+∣11⟩，其纠缠熵为1。因此对于纠缠熵的值，可以看成是我们需要多少个Bell pair来建立这个量子态，或者可以从中提取多少个量子态，这两个值对于纯态是相同的，但是对于后面的混合态则不一定。

2 量子混合态纠缠判定

量子混合态的纠缠判断比较tricky：

对混合态(Mixed state){pi,∣ψi⟩}\{p_i, |\psi_i\rangle\}{pi,∣ψi⟩}，仅凭其密度矩阵∑ipi∣ψi⟩⟨ψi∣\sum_ip_i |\psi_i\rangle \langle\psi_i|∑ipi∣ψi⟩⟨ψi∣其实无法判断原始的量子态∣ψi⟩|\psi_i\rangle∣ψi⟩是否纠缠;
创建一个混合偶态(bipartite mixed states)，ρ\rhoρ，需要的纠缠量子比特，即Entanglement of Formation=EF(ρ)=E_F(\rho)=EF(ρ)，要大于等于从该混合态中可以提取的纠缠量子比特Distillable Entanglement=ED(ρ)=E_D(\rho)=ED(ρ)，而且有可能EF(ρ)>>ED(ρ)E_F(\rho)>>E_D(\rho)EF(ρ)>>ED(ρ)，即纠缠的量子态，在混合之后，纠缠消失了！？
对于混合偶态(bipartite mixed states)，称其为separable，如果满足ρ=∑ipi∣vi⟩⟨vi∣⊗∣wi⟩⟨wi∣=∑ipi∣viwi⟩⟨viwi∣\rho=\sum_i p_i|v_i\rangle\langle v_i|\otimes|w_i\rangle\langle w_i|=\sum_i p_i|v_iw_i\rangle \langle v_iw_i|ρ=∑ipi∣vi⟩⟨vi∣⊗∣wi⟩⟨wi∣=∑ipi∣viwi⟩⟨viwi∣，但是其组成成分，可能是entangle的纯态，和第二条对应，本来entangle的纯态，混合之后，其密度矩阵变成了separable了，纠缠消失了。
不像纯态一样能通过纠缠熵很好的判断，确定混合态ρ\rhoρ能否separable的分解是个NP hard的问题，而密度矩阵ρ\rhoρ又是我们能掌握的所有信息，于是又很多论文在尝试对不同的纠缠分类识别。

3 单配纠缠(Monogamy of Entanglement)

有个很神奇的量子态叫做GHZ state，长得有点像Bell pair，如下所示：
∣000⟩+∣111⟩2\frac{|000\rangle+|111\rangle}{\sqrt 2}2∣000⟩+∣111⟩ 对于这个三比特量子态，分别对应张三李四王五，有个神奇的现象，就是只有当张三李四王五在一起的时候这个纠缠才存在，如果王五不在，那他可能测量了自己的比特，而且根据No-communication定理，张三李四的密度矩阵不论是不是王五测量都不会变，那我们看看如果王五测量了示什么情况，那就和王五没测量的情况是一样的。

因此张三李四的密度矩阵是：

而Bell pair的密度矩阵是：

所以，虽然GHZ state明显是entangle的，但是少了谁都不entangle了，就像是博罗梅安环(Borromean rings)，少了谁环都是分开的。

这里其实反应了一个更广泛的原则：

单配纠缠(Monogamy of Entanglement):
如果张三的Qubit和李四的Qubit是最大纠缠(Maximally entangled)，那张三的Qubit就不能和王五的Qubit最大纠缠(Maximally entangled)。

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