Vijos - 佳佳的魔法药水(最短路)

题目链接:https://vijos.org/p/1285

背景

发完了k张照片，佳佳却得到了一个坏消息：他的MM得病了！佳佳和大家一样焦急万分！治好MM的病只有一种办法，那就是传说中的0号药水……怎么样才能得到0号药水呢？你要知道佳佳的家境也不是很好，成本得足够低才行……

题目描述

得到一种药水有两种方法：可以按照魔法书上的指导自己配置，也可以到魔法商店里去买——那里对于每种药水都有供应，虽然有可能价格很贵。在魔法书上有很多这样的记载：1份A药水混合1份B药水就可以得到1份C药水。（至于为什么1+1=1，因为……这是魔法世界）好了，现在你知道了需要得到某种药水，还知道所有可能涉及到的药水的价格以及魔法书上所有的配置方法，现在要问的就是：1.最少花多少钱可以配制成功这种珍贵的药水；2.共有多少种不同的花费最少的方案（两种可行的配置方案如果有任何一个步骤不同则视为不同的）。假定初始时你手中并没有任何可以用的药水。

输入格式

第一行有一个整数N(N<=1000)，表示一共涉及到的药水总数。药水从0~N-1顺序编号，0号药水就是最终要配制的药水。

第二行有N个整数，分别表示从0~N-1顺序编号的所有药水在魔法商店的价格（都表示1份的价格）。

第三行开始，每行有3个整数A、B、C，表示1份A药水混合1份B药水就可以得到1份C药水。注意，某两种特定的药水搭配如果能配成新药水的话，那么结果是唯一的。也就是说不会出现某两行的A、B相同但C不同的情况。

输出格式

输出两个用空格隔开的整数，分别表示得到0号药水的最小花费以及花费最少的方案的个数。

样例输入

7
10 5 6 3 2 2 3
1 2 0
4 5 1
3 6 2

样例输出

10 3

限制

1秒

提示

最优方案有3种，分别是：直接买0号药水；买4号药水、5号药水配制成1号药水，直接买2号药水，然后配制成0号药水；买4号药水、5号药水配制成1号药水，买3号药水、6号药水配制成2，然后配制成0。

解题思路

这是一道最短路的变形题。我们用val[i]来表示药水i的价格、map[i][j]表示i和j可以合成的药水、cnt[i]表示得到药水i
的方案数。跑一遍Dijkstra算法，在松弛价格的时候，一定是vis[j]==1的时候，因为一定要用药水j的最小价格来更新。
当val[map[k][j]]>val[k]+val[j]时，map[k][j]的方案数是k的方案数乘以j的方案数。
当val[map[k][j]]==val[k]+val[j]时，map[k][j]的方案数是加上k的方案数乘以j的方案数。

#include <stdio.h>
const int inf = 1e9;
int map[1010][1010], val[1010], cnt[1010], vis[1010];
int main()
{int n, a, b, c, k = 0, minn;scanf("%d", &n);for (int i = 0; i < n; i++){cnt[i] = 1;vis[i] = 0;for (int j = 0; j < n; j++)map[i][j] = -1;}for (int i = 0; i < n; i++)scanf("%d", &val[i]);while (~scanf("%d%d%d", &a, &b, &c))map[a][b] = map[b][a] = c;for (int i = 0; i < n; i++){minn = inf;for (int j = 0; j < n; j++)if (!vis[j] && minn > val[j])minn = val[k = j];vis[k] = 1;for (int j = 0; j < n; j++){if (vis[j] && map[k][j] != -1){if (val[map[k][j]] > val[k] + val[j])val[map[k][j]] = val[k] + val[j], cnt[map[k][j]] = cnt[k] * cnt[j];else if (val[map[k][j]] == val[k] + val[j])cnt[map[k][j]] += cnt[k] * cnt[j];}}    }printf("%d %d\n", val[0], cnt[0]);return 0;
}