facsum （线性筛积性函数）

facsum

10.20

思路：
对于式子进行分析，前面的Phi就是一个很常规的转化，变成i^m。后边一个约数个数，一个Mobius，一个单位函数都是积性函数，所以卷起来也就积性啦（不是积性怎么做嘛。。）
于是就上线性筛了。
对于 if(i % prime[j] == 0) 的情况，也就是 f[p^k*c] = f[p^k] * f[c]。
所以我们只用考虑 f[p^k] 如何计算，d就是p^i，当 (i <= k-2) 是，n/d 中就会有多个p，那么mu自然就是0了，不必计算。
所以 f[p^k] = p^k^m * (g[p^k] * mu[1] * 1 + g[p^(k-1)] * mu[p] * p) = p^k^m * (k + 1 + k * (-p))
= p^k^m * (k - kp + 1)。结束
话说打表找规律也不失为一种很好的方法。

ps：空间限定比较严，那些又开mu又开phi什么的就只有唱歌啦啦啦。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define N 10000010
#define MOD 1000000007
using namespace std;int n,m;
int prime[N/10], t[N], tot=0;
bool isnot[N];
LL f[N];int fpow(int a, int b, int p) {int ret = 1;while( b ) {if(b & 1) ret = 1ll * ret * a % p;a = 1ll * a * a % p, b >>= 1;}return ret;
}int ffp(int a, int b) {int ret = 1;while( b ) {if(b & 1) ret = ret * a;a = a * a, b >>= 1;}return ret;
}void linear_shaker() {memset(isnot, 0, sizeof(isnot));f[1] = 1, t[1] = 0;for(register int i=2; i<N; ++i) {if( !isnot[i] ) prime[++tot] = i, f[i] = 2-i, t[i] = 1;for(int j=1; j<=tot && i*prime[j]<N; ++j) {int k = i * prime[j];isnot[k] = 1;if(i % prime[j] == 0){t[k] = t[i] + 1;f[k] = 1ll * f[k/ffp(prime[j], t[k])] * (t[k]+1-t[k]*prime[j]) % MOD;break;}t[k] = 1;f[k] = f[i] * f[prime[j]] % MOD;}}
}int main() {freopen("facsum.in", "r", stdin);freopen("facsum.out", "w", stdout);scanf("%d%d", &n, &m);linear_shaker();int ans = 0;for(int i=1; i<=n; ++i){ans = (ans + 1ll * fpow(i, m, MOD) * f[i] % MOD) % MOD; }printf("%d\n", (ans + MOD) % MOD);return 0;
}

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