DTOJ 2746. 皇后游戏（game）
题意
还记得 NOIP 2012 提高组 Day1 的国王游戏吗？时光飞逝，光阴荏苒，四年过去了。早已过时的国王游戏如今已被皇后游戏取代，请你来解决类似于国王游戏的另一个问题。
皇后有 n 位大臣，每位大臣的左右手上面分别写上了一个正整数。恰逢劳动节来临，皇后决定为 n 位大臣颁发奖金，其中第 i 位大臣所获得的奖金数目为第 i-1 位大臣所获得奖金数目与前 i 位大臣左手上的数的和的较大值再加上第 i 位大臣右手上的数。
形式化地讲：我们设第 i 位大臣左手上的正整数为 ai，右手上的正整数为 bi， 则第 i 位大臣获得的奖金数目为 ci 可以表达为：
\[$$c_i=\begin{cases}a_1+b_1 & i=1\\max \{c_{i-1},\sum^{i}_{j=1}{a_j} \} +b_i & 2 \le i \le n\\\end{cases}\$$]
当然，吝啬的皇后并不希望太多的奖金被发给大臣，所以她想请你来重新安排一下队伍的顺序，使得获得奖金最多的大臣，所获奖金数目尽可能的少。
注意：重新安排队伍并不意味着一定要打乱顺序，我们允许不改变任何一位大臣的位置。
【样例说明 1】
按照 1、2、3 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 10；
按照 1、3、2 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9；
按照 2、1、3 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9；
按照 2、3、1 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 8；
按照 3、1、2 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9；
按照 3、2、1 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 8。
当按照 3、2、1 这样排列队伍时，三位大臣左右手的数分别为：
(1, 2)、(2, 2)、(4, 1)
第 1 位大臣获得的奖金为 1 + 2 = 3；
第 2 位大臣获得的奖金为 max{3, 3} + 2 = 5；
第 3 为大臣获得的奖金为 max{5, 7} + 1 = 8。
【数据规模与约定】
所有测试点的数据规模如下：
|
测试点编号 |
n的规模 |
T的规模 |
约定 |
|
1 |
=1 |
=1 |
无 |
|
2 |
=2 |
||
|
3 |
=5 |
=5 |
|
|
4 |
=9 |
||
|
5 |
=15 |
||
|
6 |
=15 |
||
|
7 |
=16 |
||
|
8 |
=16 |
||
|
9 |
=3000 |
=10 |
ai=bi |
|
10 |
=3000 |
||
|
11 |
=5000 |
bi=ai+1 |
|
|
12 |
=5000 |
||
|
13 |
=10000 |
无 |
|
|
14 |
=10000 |
||
|
15 |
=20000 |
||
|
16 |
=20000 |
||
|
17 |
=30000 |
||
题解
对于排序问题考虑构造一种排序方式使得任意交换两个数不会更优。设两个大臣i,j，a1...i=x,ci−1=yi,j，a_{1...i}=x,c_{i-1}=yi,j，a1...i=x,ci−1=y，则要使：
max(y+bi+bi+1,x+ai+bi,x+ai+ai+1+bi+1)≤max(y+bi+1+bi,x+ai+1+bi+1+bi,x+ai+ai+1+bi)max(y+b_i+b_{i+1},x+a_i+b_i,x+a_i+a_{i+1}+b_i+1)\le max(y+b_i+1+b_i,x+a_{i+1}+b_i+1+b_i,x+a_i+a_{i+1}+b_i)max(y+bi+bi+1,x+ai+bi,x+ai+ai+1+bi+1)≤max(y+bi+1+bi,x+ai+1+bi+1+bi,x+ai+ai+1+bi)
发现第一项是相同的，且完全可以忽略它（如果忽略后不满足不等式，那么交换后还满足原不等式）。
于是化简得：min(ai,bj)≤min(bi,aj)min(a_i,b_j)\le min(b_i,a_j)min(ai,bj)≤min(bi,aj)。
直接按照这个排序会有问题，因为这不满足传递性，考虑将它划分成若干个可传递的范围：按照a,ba,ba,b的大小先分一类，a<ba<ba<b的一定在前，a>ba>ba>b的一定在后，然后对于两边分别按照aaa升序、bbb降序排序即可。
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