c语言分段函数x2-sinx,大学高等数学: 第二章第五讲三种分段函数求导法, 再也不担心了...

上节课我们学习了几类复合函数的求导法：幂指数函数求导法，反函数求导法，参数方程确定的函数求导法，隐函数求导法，变限积分求导法，而今天我们所讲的而是关于分段函数的求导法，为什么要把分段函数单独列一节给大家讲解呢？因为分段函数它本身因为定义域不同的关系，需要把各自定义域区间内所对应的导数求出来，从而进行分类讨论，而小编也整理了关于分段函数求导的三种我们常见的题型，可以这么说，这三种分段函数求导法的题型，包含了从大学高等数学乃至考研数一(数二、数三)所考察关于分段函数的所有类型。

有一类函数，它们在定义域的不同区间上有不同的表达式，我们常常通俗地称这类函数为分段函数.常见的有

这里称x=xo为分解点(或连接点).

在求分段函数的导数时，先用求导法则及基本公式，求出各分段区间内初等函数的导数，然后对分段函数的各分界点(或连接点)用可导定义进行讨论，如果某分界点不连续，当然不可导。因此，讨论分段函数求导法的关键点是如何求出分界点处的导数，常用以下三种方法。

(一)按定义求分界点处的导数或左右导数

定义上写的很清楚，如果左右区间对应的导数存在且相等，记为l，则f‘(xo)=l.

当然对于区间x≠0及x=0同样适用。

解：这个题目要求f(x)在点x=0处的导数，典型的按照定义求在x=0处的导数。

f'(0)=limf(x)-f(0)/x=lim(1+x)^1/x-e/x=elim1/e(1+x)^1/x-1/x=elim1/xln(1+x)-1/x=elimln(1+x)-x/x^2=elim1/(1+x)-1/2x=-e/2

这里面所用到了等价无穷小替换(e^[xln(1+x)-1]-1---------1/xln(1+x)-1)

(二)按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数

解:因为x≥1，f(x)=π/4+(x-1)/2;lxl≤1,f(x)=arctanx;x≤-1,f(x)=-π/4+(x+1)/2。(经过验证，x=-1，1处可添加等号)，所以f'(1+)=(π/4+(x-1)/2)'=1/2.f'(1-)=(arctanx)'=1/1+x^2=1/2

f'(-1+)=(arctanx)'=1/1+x^2=1/2.f'(-1-)=-π/4+(x+1)/2=1/2.

因此f'(1)=1/2,f'(-1)=1/2.

(三)分界点是连续点时，求导函数在分界点出的极限值

定理：设f(x)在xo的空心邻域内可导且f(x)在xo处连续，若x→xo存在极限limf'(x)=A,则f'(xo)=A

解：对于这个题目当x≠0时，由求导法则得f'(x)=(xcos-sinx)/x^2；当x=0时，

方法一：f'(0)=limf(x)-f(0)/x=limsinx/x-1/x=limsinx-x/x^2=limcosx-1/2x=0

方法二：显然x→0，limf(x)=1=f(0),f(x)在x=0连续，又

limf'(x)=limxcosx-sinx/x^2=lim-xsinx/2x=0，因此f'(0)=0.

以上是我们今天学习分段函数求导法的三种常见题型，包括了在大学高等数学对分段函数求导的所有题型，分别是按定义求分界点处的导数或左右导数、按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数、分界点是连续点时，求导函数在分界点处的极限值。希望小伙伴们能够尽快的掌握这三种题型，这样对于分段函数的求导就不用再担心了，收藏分享下，避免在今后的学习中遗忘，可以及时的查漏补缺。

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