【线性代数笔记】矩阵的特征值和特征向量在哪些变换过程中变化？

前置知识：
定理1 设AAA为nnn阶方阵，若∃\exists∃可逆矩阵PPP使得P−1AP=ΛP^{-1}AP=\LambdaP−1AP=Λ（其中Λ\LambdaΛ为对角矩阵），则相似变换矩阵PPP的每一列为AAA的特征向量。
证明：将PPP按列分块得P=[x1,x2,⋯,xn]P=[x_1,x_2,\cdots,x_n]P=[x1,x2,⋯,xn]。
P−1AP=Λ⟺AP=PΛ⟺A[x1,x2,…,xn]=[x1,x2,⋯,xn][λ1λ2⋱λn]⟺[Ax1,Ax2,⋯,Axn]=[λ1x1,λ2x2,⋯,λnxn]P^{-1}AP=\Lambda\Longleftrightarrow\\AP=P\Lambda \Longleftrightarrow\\A[x_1,x_2,\dots,x_n]=[x_1,x_2,\cdots,x_n]\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\lambda_2\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}\Longleftrightarrow\\ [Ax_1,Ax_2,\cdots,Ax_n]=[\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,\cdots,\lambda_nx_n]P−1AP=Λ⟺AP=PΛ⟺A[x1,x2,…,xn]=[x1,x2,⋯,xn]⎣⎢⎢⎡λ1λ2⋱λn⎦⎥⎥⎤⟺[Ax1,Ax2,⋯,Axn]=[λ1x1,λ2x2,⋯,λnxn]，
因此x1,x2,⋯,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn为AAA得特征向量。

定理2 设f(A)=a0+a1A+a2A2+⋯+anAnf(A)=a_0+a_1A+a_2A^2+\cdots+a_nA^nf(A)=a0+a1A+a2A2+⋯+anAn，则对于AAA的特征向量λ\lambdaλ，f(A)f(A)f(A)对应的特征向量为f(λ)f(\lambda)f(λ)，且特征向量不变。
定理3 设λ\lambdaλ为nnn阶可逆矩阵AAA的特征值，则λ≠0\lambda\ne0λ=0，且1λ\frac{1}{\lambda}λ1为A−1A^{-1}A−1的一个特征值，∣A∣λ\frac{|A|}{\lambda}λ∣A∣为A∗A^*A∗的一个特征值，特征向量不变。

定理4 设AAA为nnn阶方阵，且∃\exists∃可逆矩阵PPP使得P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B，则BBB与AAA拥有相同的特征值，且AAA的特征向量xxx对应BBB的特征向量P−1xP^{-1}xP−1x。
证明：设Ax=λxAx=\lambda xAx=λx，由A=PBP−1A=PBP^{-1}A=PBP−1得PBP−1x=λxPBP^{-1}x=\lambda xPBP−1x=λx，即B(P−1x)=λ(P−1x)B(P^{-1}x)=\lambda(P^{-1}x)B(P−1x)=λ(P−1x)，λ\lambdaλ是对应特征值，P−1xP^{-1}xP−1x是对应的特征向量。

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