cinta作业5：循环群
1. 请心算列举出群 Z10\mathbb{Z}_{10}Z10 的所有生成元。
由于加法群，易知 111 是群的其中一个生成元。而1−101-101−10 中 与 101010 互素的有1,3,7,91,3,7,91,3,7,9
故生成元 111 自身做1,3,7,91,3,7,91,3,7,9次群运算后得到的都是生成元，也即是1,3,7,91,3,7,91,3,7,9
2. 群 Z17∗\mathbb{Z}_{17}^{*}Z17∗ 有多少个生成元?已知 3 是其中一个生成元，请问 9 和 10 是否生成元?
群的阶数是16，而 ϕ(16)=ϕ(24)=24−23=8\phi(16)=\phi(2^{4})=2^4-2^3=8ϕ(16)=ϕ(24)=24−23=8，则共有8个生成元
由于 333 是一个生成元，且经计算后易得，9=329=3^29=32，10=3310=3^310=33，即生成元 333 自身做 222 次群运算和 333 次群运算后分别可以得到 999 和 101010，而 222 不与群阶数161616互素， 333 与群阶数161616互素，所以 999 不是生成元， 101010 是生成元。
3. 证明：如果群G\mathbb{G}G没有非平凡子群，则群G\mathbb{G}G是循环群。
当 G\mathbb{G}G 等于 {eee} 时，显然是循环群
当 G\mathbb{G}G 不等于 {eee} 时，任取 g∈Gg\in\mathbb{G}g∈G 且 g≠eg\neq eg=e，由于封闭性，由 ggg 生成的循环群<g><g><g>一定是群 G\mathbb{G}G 的子群。
而又因群 G\mathbb{G}G 没有平凡子群，即 G\mathbb{G}G 只有 {eee} 和 G\mathbb{G}G 本身这两个平凡子群，<g><g><g> 显然不等于 {eee} ，则 <g>=G<g>=\mathbb{G}<g>=G ，故群 G\mathbb{G}G 是循环群
4. 证明：有限循环群G中任意元素的阶都整除群G的阶
- 当 G\mathbb{G}G 等于 {eee} 时，显然成立
- 当 G\mathbb{G}G 不等于 {eee} 时，任取群 G\mathbb{G}G 中的一个元素 ggg ，且 g≠eg\neq eg=e， 由于封闭性，由 ggg 生成的循环群<g><g><g>一定是群 G\mathbb{G}G 的子群，该群的阶记为 mmm ，群 G\mathbb{G}G 的阶数记为 nnn ,则根据拉格朗日定理，有m∣nm\mid nm∣n，而 m=ord(g)m=ord(g)m=ord(g)，有ord(g)∣nord(g)\mid nord(g)∣n，故命题成立
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