CINTA作业七：同态

1.如果和是群G的正规子群，证明也是群G的正规子群。

g∈G，，，由封闭性可知，得证。

2.定义映射为。请证明是一种群同态当且仅当G是阿贝尔群。

证充分性：

因为是一种群同态，所以，即，即b*a=a*b。

所以G是阿贝尔群。

证必然性：

因为G是阿贝尔群，所以b*a=a*b，则

综上，得证。

3.证明：如果H是群G上指标为 2 的子群，则H是G的正规子群。

，

g∈H时，有gH=Hg=H；

g∉H时，gH=Hg=G-H，均有gH=Hg；

得证H是G的正规子群。

4.证明：如果群 G 是循环群，则商群 G/H 也是循环群。

因为G是循环群，则对生成元g有，其中k∈Z；

又有，所以商群是以(gH)为生成元的循环群；

得证。

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