CINTA作业四：群、子群

课后练习题3

证明：

(1)如果ba=ca，则b=c；

两边同右乘:a^(-1)
有baa^(-1)=ca^a(-1)
因为aa(-1)=e，且be=ce
又单位元是唯一的
所以b=c

(2)若ab=ac，则b=c

两边同左乘:a^(-1)
有a^(-1)ab=a^(-1)ac
因为a^(-1)a=e，且eb=ec
又单位元是唯一的
b=c

课后练习题4

证明：

∵g^m是m-1个g作运算
g^n是n-1个g作运算
有g^mg^n是1+(m-1)+(n-1)个g作运算
故总共有m+n-1个g作运算
又g^(m+n)是m+n-1个g作运算
∴g^mg^n=g^(m+n)

∵g^m是m-1次群运算
则(g^m)^n是n-1次g作m-1次运算
n组(m-1)次群运算也就是(gm)^n
因此(g^m)^n=g^(m*n)

G是一个阿贝尔群，对于所有的n1，n2属于G, 可知有n1n2=n1n2.
所以对于所有的n属于Z，有(gh)^n=(hg)^n=(g^(-1)h^(-1))^(-n)
由性质2可知有(g^(-1)h^(-1))^(n)=g^(n)h^(n)
所以有(gh)^n=g^(n)h^(n).

课后练习题5

从群里翻到的[呲牙]

课后练习题6

证明：

若H是G的子群,自然非空,并对乘法和取逆封闭,
从而H ≠ ∅,并对任意a,b ∈ H,有ab⁻¹ ∈ H.
充分性:
首先,由H ≠ ∅,可取a ∈ H,由条件得e = aa⁻¹ ∈ H,
因此H包含G的单位元e.
于是对任意b ∈ H,由条件得b⁻¹ = eb⁻¹ ∈ H,
因此H对取逆封闭.
而对任意a,b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,
进而由条件得ab = a(b⁻¹)⁻¹ ∈ H,
因此H对乘法封闭.
至此我们证明了,H对G的乘法封闭.
1) G作为群,其乘法自然满足结合律;
2) e ∈ H,e作为G的单位元,满足对任意a ∈ H,ae = ea = a;
3) 对任意b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,满足bb⁻¹ = b⁻¹b = e.
因此G的非空子集H关于G乘法构成群,即H是G的子群.
注:如果承认子群的等价定义:对乘法和取逆封闭的非空子集,
则充分性证明只需前半段.

课后练习题7

因为(g0g1· · ·g(n-1)gn)((gn)^(-1)· · ·(g1)^(-1)(g0)^(-1))

=(g0g1· · ·g(n-1))(gn(gn)^(-1))(g(n-1)^(-1)· · ·(g1)^(-1)(g0)^(-1))

=(g0g1· · ·g(n-1)e(g(n-1)^(-1)· · ·(g1)^(-1)(g0)^(-1))

=(g0g1· · ·g(n-1))(g(n-1)^(-1)· · ·(g1)^(-1)(g0)^(-1))

此处e为群G的单位元，所以以此类推最后结果为e.

故原命题得证.