前言

上文介绍了迪杰斯特拉(Dijkstra)算法，计算网图的某个源点到其余各个顶点的最短路径问题（边权值为非负值），本文介绍另一个求最短路径的算法——弗洛伊德算法，它是计算所有顶点到所有顶点的最短路径，其时间复杂度为O(n3)O(n^3)O(n3)，其算法相比Dijkstra算法更加简洁易懂。

算法思路

在迪杰斯特拉算法中，定义了两个一维数组int D[MAXVEX]和 int P[MAXVEX]，D表示源点到其他顶点的最短路径和，P表示对应顶点的最小路径的前驱矩阵。

因为弗洛伊德算法中，以所有顶点为源点，因此应该定义为二维数组int D[MAXVEX][MAXVEX]和 int P[MAXVEX][MAXVEX]，核心思路和迪杰斯特拉算法类似，从源点v到终点w，判断经过中转点k的路径是否比原来的路径更短。

例如下图中，A顶点到B顶点在邻接矩阵中是10，如果经过C顶点中转，则路径和为4+3=74+3 = 74+3=7，显然要比直接路径要短。

D[v][w]=min{D[v][w],D[v][k]+D[k][w]}D[v][w] = min\{ D[v][w],\quad D[v][k] + D[k][w] \} D[v][w]=min{D[v][w],D[v][k]+D[k][w]}

以某一顶点为中转点，遍历所有顶点为源点和终点，如果经过中转点更短，则将D中的相应位置更新。

以下面这个网图为例，观察一下具体是怎么计算的。

（1）其邻接矩阵如下，也是D数组的初始化矩阵。

P矩阵初始化如下：

首先以A顶点为中转点，没有经过A点的最短路径；再以B点为中转点，A-D时，因为$10+1 = 11 < \infty $，所以对应的D[0][3]和D[3][0]改为11，P[0][3]和P[3][0]分别改为P[0][1]和P[3][1]。C-D时，因为3+1=4<93+1 = 4 < 93+1=4<9，所以对应的D[2][3]和D[3][2]改为4，P[2][3]和P[3][2]改为P[2][1]和P[3][1]。

（2）以C顶点为中转点，A-B时，因为4+3=7<104+3=7 < 104+3=7<10，所以D[0][1] = D[1][0] = 7，P[0][1] = P[1][0] = 2。
A-D时，因为D[0][2]+D[2][3]=8<11D[0][2] + D[2][3] = 8 < 11D[0][2]+D[2][3]=8<11，所以D[0][3] = D[3][0] = 8，P[0][3] = P[0][2] = 2，P[3][0] = P[3][2] = 1。
A-E时，因为D[0][2]+D[2][4]=6<7D[0][2] + D[2][4] = 6 < 7D[0][2]+D[2][4]=6<7，所以D[0][4] = D[4][0] = 6，P[0][4] = P[4][0] = 2。
B-E时，因为 D[1][2]+P[2][4]=5>∞D[1][2] + P[2][4] = 5 > \inftyD[1][2]+P[2][4]=5>∞，所以D[1][4] = D[4][1] = 5，P[1][4] = P[4][1] = 2。

（3）然后依次以D、E顶点为中转点，遍历所有源点到顶点的路径情况，没有经过D、E中转点的最短路径，D、P矩阵不变。

算法程序

（1）程序第6-13行，是对D和P矩阵初始化；

（2）程序第14-29行，包含了三层for嵌套，分别是中转点k，源点v，终点w，需要注意的是，中转点k的循环必须放在外面，如果放在内循环中，则表示在最开始就计算两个顶点之间的最短距离，（比如计算A-D的最短路径，此时遍历所有中转点，得到的结果是A-B-D：11，显然是不正确的），中转点k在外循环，不断的收缩各顶点之间的距离，从而求得最短路径。

typedef int Pathmatirx_floyd[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable_floyd[MAXVEX][MAXVEX];
void ShorttestPath_Floyd(MGraph G, Pathmatirx_floyd *P, ShortPathTable_floyd *D)
{int v, w, k;for (v = 0; v < G.numVertexes; v++){for (w = 0; w < G.numVertexes; w++){(*D)[v][w] = G.arc[v][w]; //D[v][w]值即为对应点间的权值(*P)[v][w] = w; //初始化P}}for (k = 0; k < G.numVertexes; k++){for (v = 0; v < G.numVertexes; v++){for (w = 0; w < G.numVertexes; w++){if ((*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w]){//如果经过下标为k的顶点路径比原两点之间路径更短(*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w];//将当前两点间权值设为更小的一个(*P)[v][w] = (*P)[v][k]; //路径设置经过下标为k的顶点}}}}
}

测试程序

#include "CreateGraph.h"
#include "floyd.h"int main()
{MGraph G;CreateMgraph(&G);Pathmatirx_floyd fP;ShortPathTable_floyd fD;ShorttestPath_Floyd(G, &fP, &fD);ShowShortPath_Floyd(G, fP, fD);return 0;
}void ShowShortPath_Floyd(MGraph G, Pathmatirx_floyd P, ShortPathTable_floyd D)
{int v, w, k;for (v = 0; v < G.numVertexes; v++){for(w = v+1; w < G.numVertexes; w++){printf("%c - %c weight: %d", G.vexs[v], G.vexs[w], D[v][w]);k = P[v][w];printf(" path: %c", G.vexs[v]);while (k != w){printf(" -> %c", G.vexs[k]);k = P[k][w];}printf(" -> %c\n", G.vexs[w]);}printf("\n");}}

总结

弗洛伊德（Floyd）算法优点是程序简洁，且计算了所有顶点之间的最短路径问题，缺点是

因为是三层循环，时间复杂度为O(n3)O(n^3)O(n3)，对于不需要计算所有顶点之间的最短路径时，其效率较低。

迪杰克斯特拉（Dijkstra)和弗洛伊德（Floyd）这两种求最短路径的算法，一个是求某一源点到其余顶点的最短路径，一个是求所有顶点之间的最短路径，他们也都适用于（权值非负值）有向图，与无向图的区别仅仅在于邻接矩阵是否对称。

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