高等数学（第七版）同济大学总习题七（前4题）个人解答

高等数学（第七版）同济大学总习题七（前4题）

1.填空：\begin{aligned}&1. \ 填空：&\end{aligned}1. 填空：

(1)xy′′′+2x2y′2+x3y=x4+1是____阶微分方程；(2)一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解为________.(3)与积分方程y=∫x0xf(x,y)dx等价的微分方程初值问题是_________.(4)已知y=1，y=x，y=x2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为_________.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ xy'''+2x^2y'^2+x^3y=x^4+1是\_\_\_\_阶微分方程；\\\\ &\ \ (2)\ \ 一阶线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解为\_\_\_\_\_\_\_\_.\\\\ &\ \ (3)\ \ 与积分方程y=\int_{x_0}^{x}f(x, \ y)dx等价的微分方程初值问题是\_\_\_\_\_\_\_\_\_.\\\\ &\ \ (4)\ \ 已知y=1，y=x，y=x^2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为\_\_\_\_\_\_\_\_\_. & \end{aligned} (1) xy′′′+2x2y′2+x3y=x4+1是____阶微分方程； (2) 一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解为________. (3) 与积分方程y=∫x0xf(x, y)dx等价的微分方程初值问题是_________. (4) 已知y=1，y=x，y=x2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为_________.

解：

(1)三(2)y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C).(3)y′=f(x,y)，y∣x=x0=0.(4)y=C1(x−1)+C2(x2−1)+1\begin{aligned} &\ \ (1)\ 三\\\\ &\ \ (2)\ y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right).\\\\ &\ \ (3)\ y'=f(x, \ y)，y|_{x=x_0}=0.\\\\ &\ \ (4)\ y=C_1(x-1)+C_2(x^2-1)+1 & \end{aligned} (1) 三 (2) y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C). (3) y′=f(x, y)，y∣x=x0=0. (4) y=C1(x−1)+C2(x2−1)+1

2.以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：\begin{aligned}&2. \ 以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：&\end{aligned}2. 以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：

(1)设非齐次线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)有两个不同的解：y1(x)与y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是()：(A)C[y1(x)−y2(x)](B)y1(x)+C[y1(x)−y2(x)](C)C[y1(x)+y2(x)](D)y1(x)+C[y1(x)+y2(x)](2)具有特解y1=e−x，y2=2xe−x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()：(A)y′′′−y′′−y′+y=0(B)y′′′+y′′−y′−y=0(C)y′′′−6y′′+11y′−6y=0(D)y′′′−2y′′−y′+2y=0\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 设非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个不同的解：y_1(x)与y_2(x)，C为任意常数，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 则该方程的通解是(\ \ \ \ )：\\\\ &\ \ (A)\ \ C[y_1(x)-y_2(x)]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (B)\ \ y_1(x)+C[y_1(x)-y_2(x)]\\\\ &\ \ (C)\ \ C[y_1(x)+y_2(x)]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (D)\ \ y_1(x)+C[y_1(x)+y_2(x)]\\\\ &\ \ (2)\ \ 具有特解y_1=e^{-x}，y_2=2xe^{-x}，y_3=3e^x的三阶常系数齐次线性微分方程是(\ \ \ \ )：\\\\ &\ \ (A)\ \ y'''-y''-y'+y=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (B)\ \ y'''+y''-y'-y=0\\\\ &\ \ (C)\ \ y'''-6y''+11y'-6y=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (D)\ \ y'''-2y''-y'+2y=0 & \end{aligned} (1) 设非齐次线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)有两个不同的解：y1(x)与y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是( )： (A) C[y1(x)−y2(x)] (B) y1(x)+C[y1(x)−y2(x)] (C) C[y1(x)+y2(x)] (D) y1(x)+C[y1(x)+y2(x)] (2) 具有特解y1=e−x，y2=2xe−x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )： (A) y′′′−y′′−y′+y=0 (B) y′′′+y′′−y′−y=0 (C) y′′′−6y′′+11y′−6y=0 (D) y′′′−2y′′−y′+2y=0

解：

(1)y1(x)−y2(x)是对应的齐次方程y′+P(x)y=0的非零解，从而由线性微分方程解的性质定理知C[y1(x)−y2(x)]是齐次方程的通解，再由非齐次线性方程解的结构定理知y1(x)+C[y1(x)−y2(x)]是原方程的通解，选B(2)根据题意可知r=−1，−1，1为所求齐次线性微分方程对应的特征方程的3个根，而(r+1)2(r−1)=r3+r2−r−1，选B.\begin{aligned} &\ \ (1)\ y_1(x)-y_2(x)是对应的齐次方程y'+P(x)y=0的非零解，从而由线性微分方程解的性质定理知\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ C[y_1(x)-y_2(x)]是齐次方程的通解，再由非齐次线性方程解的结构定理知y_1(x)+C[y_1(x)-y_2(x)]\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 是原方程的通解，选B\\\\ &\ \ (2)\ 根据题意可知r=-1，-1，1为所求齐次线性微分方程对应的特征方程的3个根，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 而(r+1)^2(r-1)=r^3+r^2-r-1，选B. & \end{aligned} (1) y1(x)−y2(x)是对应的齐次方程y′+P(x)y=0的非零解，从而由线性微分方程解的性质定理知 C[y1(x)−y2(x)]是齐次方程的通解，再由非齐次线性方程解的结构定理知y1(x)+C[y1(x)−y2(x)] 是原方程的通解，选B (2) 根据题意可知r=−1，−1，1为所求齐次线性微分方程对应的特征方程的3个根，而(r+1)2(r−1)=r3+r2−r−1，选B.

3.求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程：\begin{aligned}&3. \ 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程：&\end{aligned}3. 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程：

(1)(x+C)2+y2=1（其中C为任意常数）；(2)y=C1ex+C2e2x（其中C1，C2为任意常数）.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ (x+C)^2+y^2=1\ （其中C为任意常数）；\\\\ &\ \ (2)\ \ y=C_1e^x+C_2e^{2x}\ （其中C_1，C_2为任意常数）. & \end{aligned} (1) (x+C)2+y2=1 （其中C为任意常数）； (2) y=C1ex+C2e2x （其中C1，C2为任意常数）.

解：

(1)方程两端对x求导，得x+C+yy′=0，即C=−x−yy′，代入原方程得y2(1+y′2)=1.(2)将y=C1ex+C2e2x对x二次求导，得{y′=C1ex+2C2e2x，y′′=C1ex+4C2e2x.解得C1=(2y′−y′′)e−x，C2=12(y′′−y′)e−2x，代入原方程，得y=(2y′−y′′)+12(y′′−y′)，即y′′−3y′+2y=0.\begin{aligned} &\ \ (1)\ 方程两端对x求导，得x+C+yy'=0，即C=-x-yy'，代入原方程得y^2(1+y'^2)=1.\\\\ &\ \ (2)\ 将y=C_1e^x+C_2e^{2x}对x二次求导，得\begin{cases}y'=C_1e^x+2C_2e^{2x}，\\\\y''=C_1e^x+4C_2e^{2x}.\end{cases}解得C_1=(2y'-y'')e^{-x}，C_2=\frac{1}{2}(y''-y')e^{-2x}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 代入原方程，得y=(2y'-y'')+\frac{1}{2}(y''-y')，即y''-3y'+2y=0. & \end{aligned} (1) 方程两端对x求导，得x+C+yy′=0，即C=−x−yy′，代入原方程得y2(1+y′2)=1. (2) 将y=C1ex+C2e2x对x二次求导，得⎩⎨⎧y′=C1ex+2C2e2x，y′′=C1ex+4C2e2x.解得C1=(2y′−y′′)e−x，C2=21(y′′−y′)e−2x，代入原方程，得y=(2y′−y′′)+21(y′′−y′)，即y′′−3y′+2y=0.

4.求下列微分方程的通解：\begin{aligned}&4. \ 求下列微分方程的通解：&\end{aligned}4. 求下列微分方程的通解：

(1)xy′+y=2xy； (2)xy′lnx+y=ax(lnx+1)；(3)dydx=y2(lny−x)； (4)dydx+xy−x3y3=0；(5)y′′+y′2+1=0； (6)yy′′−y′2−1=0；(7)y′′+2y′+5y=sin2x； (8)y′′′+y′′−2y′=x(ex+4)；(9)(y4−3x2)dy+xydx=0； (10)y′+x=x2+y.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ xy'+y=2\sqrt{xy}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ xy'ln\ x+y=ax(ln\ x+1)；\\\\ &\ \ (3)\ \ \frac{dy}{dx}=\frac{y}{2(ln\ y-x)}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \frac{dy}{dx}+xy-x^3y^3=0；\\\\ &\ \ (5)\ \ y''+y'^2+1=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \ yy''-y'^2-1=0；\\\\ &\ \ (7)\ \ y''+2y'+5y=sin\ 2x；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)\ \ y'''+y''-2y'=x(e^x+4)；\\\\ &\ \ (9)\ \ (y^4-3x^2)dy+xydx=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)\ \ y'+x=\sqrt{x^2+y}. & \end{aligned} (1) xy′+y=2xy； (2) xy′ln x+y=ax(ln x+1)； (3) dxdy=2(ln y−x)y； (4) dxdy+xy−x3y3=0； (5) y′′+y′2+1=0； (6) yy′′−y′2−1=0； (7) y′′+2y′+5y=sin 2x； (8) y′′′+y′′−2y′=x(ex+4)； (9) (y4−3x2)dy+xydx=0； (10) y′+x=x2+y.

解：

(1)原方程可化为y′+yx=2yx，令u=yx，则有xu′=2u−2u，分离变量得du2u(1−u)=dxx，两端积分得ln∣1−u∣=−ln∣x∣+lnC1，即x(1−u)=C，代入u=yx，得原方程的通解为x−xy=C.(2)原方程可化为y′+1xlnxy=a(1+1lnx)，由一阶线性方程的通解公式，得y=e−∫1xlnxdx[∫a(1+1lnx)e∫1xlnxdxdx+C]=1lnx[∫a(lnx+1)dx+C]=1lnx(axlnx+C)=ax+1lnxC，所以方程的通解为y=ax+1lnxC.(3)原方程可表示为dxdy+2yx=2lnyy，由一阶线性方程的通解公式，得x=e−∫2ydy(∫2lnyye∫2ydydy+C)=1y2(∫2ylnydy+C)=1y2(y2lny−12y2+C)=lny−12+1y2C，所以方程的通解为x=1y2C+lny−12.(4)原方程可表示为y′+xy=x3y3，方程两端同时除以y3，得y′y3+x1y2=x3，令z=1y2，则z′=−2y′y3，原方程化为z′−2xz=−2x3，得z=e∫2xdx(∫−2x3e−∫2xdxdx+C)=ex2(∫−2x3e−x2dx+C)=ex2(x2e−x2−∫2xe−x2dx+C)=ex2(x2e−x2+e−x2+C)=x2+1+Cex2，代入z=1y2，得原方程的通解为1y2=Cex2+x2+1.(5)令p=y′，则p′=y′′，方程表示为p′+p2+1=0，分离变量并积分，得∫dp1+p2=−∫dx，得arctanp=−x+C1，即y′=p=tan(−x+C1)，得原方程的通解为y=∫−tan(x−C1)dx=ln∣cos(x−C1)∣+C2.(6)令p=y′，则y′′=pdpdy，原方程化为ypdpdy−p2−1=0，分离变量得pdpp2+1=dyy，两端积分得12ln(p2+1)=lny+lnC1，即p2+1=(C1y)2，p=±(C1y)2−1，取y′=(C1y)2−1，分离变量并积分得x=∫dx=∫dy(C1y)2−1=1C1∫d(C1y)(C1y)2−1=1C1{ln[C1y+(C1y)2−1]−C2}，即C1y=eC1x+C2+e−(C1x+C2)2，对y′=−(C1y)2−1同理，所以原方程的通解为y=12C1(eC1x+C2+e−C1x−C2).(7)原方程对应的齐次方程的特征方程为r2+2r+5=0，解得r1=−1+2i，r2=−1−2i，所以对应齐次方程的通解为Y=e−x(C1cos2x+C2sin2x)，因为f(x)=sin2x，λ+iω=2i不是特征方程的根，令y∗=Acos2x+Bsin2x是原方程的特解，将y∗代入原方程，得(A+4B)cos2x+(B−4A)sin2x=sin2x，比较系数，得{A+4B=0，B−4A=1，即A=−417，B=117，于是y∗=−417cos2x+117sin2x，所以原方程的通解为y=e−x(C1cos2x+C2sin2x)−417cos2x+117sin2x.(8)原方程对应的齐次方程的特征方程为r3+r2−2r=0，解得r1=0，r2=1，r3=−2，对应齐次方程的通解为Y=C1+C2ex+C3e−2x，对于方程y′′′+y′′−2y′=xex，（1−1），因f1(x)=xex，其中λ=1是特征方程的单根，令y1∗=x(A1x+B1)ex，代入（1−1）中消去ex，得6A1x+8A1+3B1=x，比较系数得{6A1=1，8A1+3B1=0，即A1=16，B1=−49，于是y1∗=(16x2−49x)ex，对于方程y′′′+y′′−2y′=4x，（1−2），因f2(x)=4x，其中λ=0是特征方程的单根，令y2∗=x(A2x+B2)，代入（1−2）得−4A2x+2A2−2B2=4x，比较系数得A2=−1，B2=−1，得y2∗=−x2−x，根据线性方程解的叠加原理可知y∗=y1∗+y2∗是原方程的特解，所以原方程的通解为y=Y+y∗=C1+C2ex+C3e−2x+(16x2−49x)ex−x2−x.(9)原方程可写为dxdy−3yx=−y3x−1，方程两端同乘x，得xdxdy−3yx2=−y3，令z=x2，则dzdy=2xdxdy，原方程化为dzdy−6yz=−2y3，解得z=e∫6ydy(∫−2y3e−∫6ydydy+C)=y6(∫−2y3dy+C)=y6(1y2+C)=y4+Cy6，代入z=x2，得原方程的通解为x2=y4+Cy6.(10)令u=x2+y，即y=u2−x2，则dydx=2ududx−2x，原方程化为2ududx−x=u，即dudx−12(xu)=12，令v=ux，即u=xv，则dudx=v+xdvdx，原方程化为v+xdvdx−12v=12，分离变量得vdv2v2−v−1=−12dxx，积分得−12ln∣x∣=∫vdv2v2−v−1=13(∫1v−1dv+∫12v+1dv)=13[ln∣v−1∣+12ln∣2v−1∣]+C1，即(v−1)2(2v−1)x3=C2，代入v=ux，得2u3−3xu2+x3=C2，再代入u=x2+y，得原方程的通解为2(x2+y)32−3x(x2+y)+x3=C2，即(x2+y)32=x3+32xy+C.\begin{aligned} &\ \ (1)\ 原方程可化为y'+\frac{y}{x}=2\sqrt{\frac{y}{x}}，令u=\frac{y}{x}，则有xu'=2\sqrt{u}-2u，分离变量得\frac{du}{2\sqrt{u}(1-\sqrt{u})}=\frac{dx}{x}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 两端积分得ln\ |1-\sqrt{u}|=-ln\ |x|+ln\ C_1，即x(1-\sqrt{u})=C，代入u=\frac{y}{x}，得原方程的通解为x-\sqrt{xy}=C.\\\\ &\ \ (2)\ 原方程可化为y'+\frac{1}{xln\ x}y=a\left(1+\frac{1}{ln\ x}\right)，由一阶线性方程的通解公式，得\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ y=e^{-\int \frac{1}{xln\ x}dx}\left[\int a\left(1+\frac{1}{ln\ x}\right)e^{\int \frac{1}{xln\ x}dx}dx+C\right]=\frac{1}{ln\ x}\left[\int a(ln\ x+1)dx+C\right]=\frac{1}{ln\ x}(axln\ x+C)=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ ax+\frac{1}{ln\ x}C，所以方程的通解为y=ax+\frac{1}{ln\ x}C.\\\\ &\ \ (3)\ 原方程可表示为\frac{dx}{dy}+\frac{2}{y}x=\frac{2ln\ y}{y}，由一阶线性方程的通解公式，得x=e^{-\int \frac{2}{y}dy}\left(\int \frac{2ln\ y}{y}e^{\int \frac{2}{y}dy}dy+C\right)=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{y^2}\left(\int 2yln\ ydy+C\right)=\frac{1}{y^2}\left(y^2ln\ y-\frac{1}{2}y^2+C\right)=ln\ y-\frac{1}{2}+\frac{1}{y^2}C，所以方程的通解为x=\frac{1}{y^2}C+ln\ y-\frac{1}{2}.\\\\ &\ \ (4)\ 原方程可表示为y'+xy=x^3y^3，方程两端同时除以y^3，得\frac{y'}{y^3}+x\frac{1}{y^2}=x^3，令z=\frac{1}{y^2}，则z'=-2\frac{y'}{y^3}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 原方程化为z'-2xz=-2x^3，得z=e^{\int 2xdx}\left(\int -2x^3e^{-\int 2xdx}dx+C\right)=e^{x^2}\left(\int -2x^3e^{-x^2}dx+C\right)=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ e^{x^2}\left(x^2e^{-x^2}-\int 2xe^{-x^2}dx+C\right)=e^{x^2}(x^2e^{-x^2}+e^{-x^2}+C)=x^2+1+Ce^{x^2}，代入z=\frac{1}{y^2}，得原方程的\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 通解为\frac{1}{y^2}=Ce^{x^2}+x^2+1.\\\\ &\ \ (5)\ 令p=y'，则p'=y''，方程表示为p'+p^2+1=0，分离变量并积分，得\int \frac{dp}{1+p^2}=-\int dx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得arctan\ p=-x+C_1，即y'=p=tan(-x+C_1)，得原方程的通解为y=\int -tan(x-C_1)dx=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ ln\ |cos(x-C_1)|+C_2.\\\\ &\ \ (6)\ 令p=y'，则y''=p\frac{dp}{dy}，原方程化为yp\frac{dp}{dy}-p^2-1=0，分离变量得\frac{pdp}{p^2+1}=\frac{dy}{y}，两端积分得\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}ln(p^2+1)=ln\ y+ln\ C_1，即p^2+1=(C_1y)^2，p=\pm \sqrt{(C_1y)^2-1}，取y'=\sqrt{(C_1y)^2-1}，分离变量并积分得\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ x=\int dx=\int \frac{dy}{\sqrt{(C_1y)^2-1}}=\frac{1}{C_1}\int \frac{d(C_1y)}{\sqrt{(C_1y)^2-1}}=\frac{1}{C_1}\{ln\ [C_1y+\sqrt{(C_1y)^2-1}]-C_2\}，即\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ C_1y=\frac{e^{C_1x+C_2}+e^{-(C_1x+C_2)}}{2}，对y'=-\sqrt{(C_1y)^2-1}同理，所以原方程的通解为y=\frac{1}{2C_1}(e^{C_1x+C_2}+e^{-C_1x-C_2}).\\\\ &\ \ (7)\ 原方程对应的齐次方程的特征方程为r^2+2r+5=0，解得r_1=-1+2i，r_2=-1-2i，所以对应齐次方程\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 的通解为Y=e^{-x}(C_1cos\ 2x+C_2sin\ 2x)，因为f(x)=sin\ 2x，\lambda+i\omega=2i不是特征方程的根，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 令y^*=Acos\ 2x+Bsin\ 2x是原方程的特解，将y^*代入原方程，得(A+4B)cos\ 2x+(B-4A)sin\ 2x=sin\ 2x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 比较系数，得\begin{cases}A+4B=0，\\\\B-4A=1，\end{cases}即A=-\frac{4}{17}，B=\frac{1}{17}，于是y^*=-\frac{4}{17}cos\ 2x+\frac{1}{17}sin\ 2x，所以原方程的通解为\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y=e^{-x}(C_1cos\ 2x+C_2sin\ 2x)-\frac{4}{17}cos\ 2x+\frac{1}{17}sin\ 2x.\\\\ &\ \ (8)\ 原方程对应的齐次方程的特征方程为r^3+r^2-2r=0，解得r_1=0，r_2=1，r_3=-2，对应齐次方程的通解为\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ Y=C_1+C_2e^x+C_3e^{-2x}，对于方程y'''+y''-2y'=xe^x，（1-1），因f_1(x)=xe^x，其中\lambda=1是特征方程的\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 单根，令y_1^*=x(A_1x+B_1)e^x，代入（1-1）中消去e^x，得6A_1x+8A_1+3B_1=x，比较系数得\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \begin{cases}6A_1=1，\\\\8A_1+3B_1=0，\end{cases}即A_1=\frac{1}{6}，B_1=-\frac{4}{9}，于是y_1^*=\left(\frac{1}{6}x^2-\frac{4}{9}x\right)e^x，对于方程\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y'''+y''-2y'=4x，（1-2），因f_2(x)=4x，其中\lambda=0是特征方程的单根，令y_2^*=x(A_2x+B_2)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 代入（1-2）得-4A_2x+2A_2-2B_2=4x，比较系数得A_2=-1，B_2=-1，得y_2^*=-x^2-x，根据线性方程\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 解的叠加原理可知y^*=y_1^*+y_2^*是原方程的特解，所以原方程的通解为\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y=Y+y^*=C_1+C_2e^x+C_3e^{-2x}+\left(\frac{1}{6}x^2-\frac{4}{9}x\right)e^x-x^2-x.\\\\ &\ \ (9)\ 原方程可写为\frac{dx}{dy}-\frac{3}{y}x=-y^3x^{-1}，方程两端同乘x，得x\frac{dx}{dy}-\frac{3}{y}x^2=-y^3，令z=x^2，则\frac{dz}{dy}=2x\frac{dx}{dy}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 原方程化为\frac{dz}{dy}-\frac{6}{y}z=-2y^3，解得z=e^{\int \frac{6}{y}dy}\left(\int -2y^3e^{-\int \frac{6}{y}dy}dy+C\right)=y^6\left(\int -\frac{2}{y^3}dy+C\right)=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y^6\left(\frac{1}{y^2}+C\right)=y^4+Cy^6，代入z=x^2，得原方程的通解为x^2=y^4+Cy^6.\\\\ &\ \ (10)\ 令u=\sqrt{x^2+y}，即y=u^2-x^2，则\frac{dy}{dx}=2u\frac{du}{dx}-2x，原方程化为2u\frac{du}{dx}-x=u，即\frac{du}{dx}-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{u}\right)=\frac{1}{2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 令v=\frac{u}{x}，即u=xv，则\frac{du}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}，原方程化为v+x\frac{dv}{dx}-\frac{1}{2v}=\frac{1}{2}，分离变量得\frac{vdv}{2v^2-v-1}=-\frac{1}{2}\frac{dx}{x}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 积分得-\frac{1}{2}ln\ |x|=\int \frac{vdv}{2v^2-v-1}=\frac{1}{3}\left(\int \frac{1}{v-1}dv+\int \frac{1}{2v+1}dv\right)=\frac{1}{3}\left[ln\ |v-1|+\frac{1}{2}ln\ |2v-1|\right]+C_1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 即(v-1)^2(2v-1)x^3=C_2，代入v=\frac{u}{x}，得2u^3-3xu^2+x^3=C_2，再代入u=\sqrt{x^2+y}，得原方程的通解为\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2(x^2+y)^{\frac{3}{2}}-3x(x^2+y)+x^3=C_2，即(x^2+y)^{\frac{3}{2}}=x^3+\frac{3}{2}xy+C. & \end{aligned} (1) 原方程可化为y′+xy=2xy，令u=xy，则有xu′=2u−2u，分离变量得2u(1−u)du=xdx，两端积分得ln ∣1−u∣=−ln ∣x∣+ln C1，即x(1−u)=C，代入u=xy，得原方程的通解为x−xy=C. (2) 原方程可化为y′+xln x1y=a(1+ln x1)，由一阶线性方程的通解公式，得 y=e−∫xln x1dx[∫a(1+ln x1)e∫xln x1dxdx+C]=ln x1[∫a(ln x+1)dx+C]=ln x1(axln x+C)= ax+ln x1C，所以方程的通解为y=ax+ln x1C. (3) 原方程可表示为dydx+y2x=y2ln y，由一阶线性方程的通解公式，得x=e−∫y2dy(∫y2ln ye∫y2dydy+C)= y21(∫2yln ydy+C)=y21(y2ln y−21y2+C)=ln y−21+y21C，所以方程的通解为x=y21C+ln y−21. (4) 原方程可表示为y′+xy=x3y3，方程两端同时除以y3，得y3y′+xy21=x3，令z=y21，则z′=−2y3y′，原方程化为z′−2xz=−2x3，得z=e∫2xdx(∫−2x3e−∫2xdxdx+C)=ex2(∫−2x3e−x2dx+C)= ex2(x2e−x2−∫2xe−x2dx+C)=ex2(x2e−x2+e−x2+C)=x2+1+Cex2，代入z=y21，得原方程的通解为y21=Cex2+x2+1. (5) 令p=y′，则p′=y′′，方程表示为p′+p2+1=0，分离变量并积分，得∫1+p2dp=−∫dx，得arctan p=−x+C1，即y′=p=tan(−x+C1)，得原方程的通解为y=∫−tan(x−C1)dx= ln ∣cos(x−C1)∣+C2. (6) 令p=y′，则y′′=pdydp，原方程化为ypdydp−p2−1=0，分离变量得p2+1pdp=ydy，两端积分得 21ln(p2+1)=ln y+ln C1，即p2+1=(C1y)2，p=±(C1y)2−1，取y′=(C1y)2−1，分离变量并积分得 x=∫dx=∫(C1y)2−1dy=C11∫(C1y)2−1d(C1y)=C11{ln [C1y+(C1y)2−1]−C2}，即 C1y=2eC1x+C2+e−(C1x+C2)，对y′=−(C1y)2−1同理，所以原方程的通解为y=2C11(eC1x+C2+e−C1x−C2). (7) 原方程对应的齐次方程的特征方程为r2+2r+5=0，解得r1=−1+2i，r2=−1−2i，所以对应齐次方程的通解为Y=e−x(C1cos 2x+C2sin 2x)，因为f(x)=sin 2x，λ+iω=2i不是特征方程的根，令y∗=Acos 2x+Bsin 2x是原方程的特解，将y∗代入原方程，得(A+4B)cos 2x+(B−4A)sin 2x=sin 2x，比较系数，得⎩⎨⎧A+4B=0，B−4A=1，即A=−174，B=171，于是y∗=−174cos 2x+171sin 2x，所以原方程的通解为 y=e−x(C1cos 2x+C2sin 2x)−174cos 2x+171sin 2x. (8) 原方程对应的齐次方程的特征方程为r3+r2−2r=0，解得r1=0，r2=1，r3=−2，对应齐次方程的通解为 Y=C1+C2ex+C3e−2x，对于方程y′′′+y′′−2y′=xex，（1−1），因f1(x)=xex，其中λ=1是特征方程的单根，令y1∗=x(A1x+B1)ex，代入（1−1）中消去ex，得6A1x+8A1+3B1=x，比较系数得 ⎩⎨⎧6A1=1，8A1+3B1=0，即A1=61，B1=−94，于是y1∗=(61x2−94x)ex，对于方程 y′′′+y′′−2y′=4x，（1−2），因f2(x)=4x，其中λ=0是特征方程的单根，令y2∗=x(A2x+B2)，代入（1−2）得−4A2x+2A2−2B2=4x，比较系数得A2=−1，B2=−1，得y2∗=−x2−x，根据线性方程解的叠加原理可知y∗=y1∗+y2∗是原方程的特解，所以原方程的通解为 y=Y+y∗=C1+C2ex+C3e−2x+(61x2−94x)ex−x2−x. (9) 原方程可写为dydx−y3x=−y3x−1，方程两端同乘x，得xdydx−y3x2=−y3，令z=x2，则dydz=2xdydx，原方程化为dydz−y6z=−2y3，解得z=e∫y6dy(∫−2y3e−∫y6dydy+C)=y6(∫−y32dy+C)= y6(y21+C)=y4+Cy6，代入z=x2，得原方程的通解为x2=y4+Cy6. (10) 令u=x2+y，即y=u2−x2，则dxdy=2udxdu−2x，原方程化为2udxdu−x=u，即dxdu−21(ux)=21，令v=xu，即u=xv，则dxdu=v+xdxdv，原方程化为v+xdxdv−2v1=21，分离变量得2v2−v−1vdv=−21xdx，积分得−21ln ∣x∣=∫2v2−v−1vdv=31(∫v−11dv+∫2v+11dv)=31[ln ∣v−1∣+21ln ∣2v−1∣]+C1，即(v−1)2(2v−1)x3=C2，代入v=xu，得2u3−3xu2+x3=C2，再代入u=x2+y，得原方程的通解为 2(x2+y)23−3x(x2+y)+x3=C2，即(x2+y)23=x3+23xy+C.