最大公约数的欧几里德[辗转相除]算法及其扩展

欧几里德算法描述：

E1.[求余数]

以n除m并令r为所得余数。(我们将有0 ≤ r ≤ n。)

E2[余数为0？]

若r=0，算法结束，n即为答案。

E3[减少]

置m←n， n←r，并返回步骤E1.

其原理依赖于下面的定理：

gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

证明：

a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a, b的一个公约数，则有

d | a, d | b，而r = a - kb，因此d | r

因此d是(b, a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

欧几里得算法的C语言表达：

int gcd(int a, int b) { if(a == 0) reutn b; if(b == 0) return a; if(a < b) swap(a, b); int c; while(c = a % b) { b = c; a = b; } return b; }

欧几里得算法的改进（避免a、b之间的交换）：

F1.[余数m / n]

以n除m并令m是余数。

F2[它为0？]

如果m = 0，则此算法以n为答案而终止。

F3[余数n / m]

以m除n并令n为余数。

F4[它为0？]

如果n = 0，则算法以答案m为终止；否则返回步骤F1。

实际上是通过提前完成下一次的取余来弥补交换的过程。

欧几里得改进算法的C语言表达：

int gcd(int a, int b) { if(a == 0) reutn b; if(b == 0) return a; if(a < b) swap(a, b); while(a = a % b) { b = b % a; } return b; }

另外：

GCD (greatest common divisor 或者 highest common factor )

最大公约数的欧几里德[辗转相除]算法及其扩展相关推荐

Python求最小公倍数和最大公约数（附加辗转相除）
求两个正整数 a,b 的最大公因数与最小公倍数.两个数的最大公因数指的是 a,b 共有的约数中最大的一个.两个数的最小公倍数指的是 a,b 共有的倍数中最小的一个. 输入格式: 在一行中给出两个数字 ...
最大公约数最小公倍数辗转相除法辗转相减法(更相减损法) 穷举法
最大公约数: 1.辗转相除法 2.辗转相减法(更相减损法) 3.穷举法最小公倍数:两数的乘积除以最大公约数方法: 1.判断大小,并使大数赋给a,小数赋给b: 2.辗转相除法:在两数相除余数不为0的 ...
php最大公约数辗转相除程序,[转]辗转相除求最大公约数
转:蓝魔之泪de万事屋百度博客 http://hi.baidu.com/didihl/blog/item/533b1fec7cea252063d09f82.html 辗转相除算法的简介在数论中,辗转 ...
【C/C++】最大公约数和最小公倍数（辗转相除、更相减损、stein）
一.最大公约数和最小公倍数数学性质: 如果b是A和B的公约数,那么:b也是A+B的约数,即b是A,B,A+B的公约数.b也是A-B的约数,即b是A,B,A-B的公约数.更一般地,对于任意整数x.y, ...
辗转相除求最大公约数，最大公倍数
上次笔试考到这个,不知道辗转相除什么意思,用短除法做的,回来查了一下才知道辗转相除法也叫欧几里德算法,这是原理例如,求(319,377): ∵ 377÷319=1(余58) ∴(377,319)= ...
C语言经典例题100道(辗转相除求最大公约数和最小公倍数)
程序[16] 题目:输入两个正整数m和n,求其最大公约数和最小公倍数. 程序分析: (1)最小公倍数=输入的两个数之积除于它们的最大公约数,关键是求出最大公约数: (2)求最大公约数用辗转相除法(又名 ...
c语言求出两个最大素数,求两个正整数的最大公约数思路：这是一个很基本的问题，最常见的就是两种方法，辗转相除法和辗转相减法。通式分别为 f(x, y) = f(y, x%y...
求两个正整数的最大公约数思路:这是一个很基本的问题,最常见的就是两种方法,辗转相除法和辗转相减法.通式分别为 f(x, y) = f(y, x%y), f(x, y) = f(y, x - y) ( ...
求两个数的最大公约数(辗转相减法)
更相减损法:也叫更相减损术,是出自<九章算术>的一种求最大公约数的算法,它原本是为约分而设计的,但它适用于任何需要求最大公约数的场合. <九章算术>是中国古代的数学专著,其中的 ...
辗转相减法求最大公约数
第一次接触这个算法,同时也觉得很奇妙,在本文加以练习,并与大家分享. 辗转相减法是一种简便的求出两数最大公约数的方法.(更相减损术) 辗转相减法(求最大公约数),即尼考曼彻斯法,其特色是做一系列减法, ...

最大公约数的欧几里德[辗转相除]算法及其扩展

最大公约数的欧几里德[辗转相除]算法及其扩展相关推荐

最新文章

热门文章