题目描述

解析

简单来说，就是求：

g^{∑C(d,n)(d是n的约数）}mod 999911659

可以先特判一下，999911659|g时，答案为0
否则，可以通过欧拉定理转化为：

g^{∑C(d,n)(d是n的约数）mod999911658} mod 999911659

取完模之后，指数已经限制在了一个较小的范围，如果求出其值，就可以用快速幂解决
现在考虑求这个指数：

∑C(d,n)(d是n的约数）mod999911658

面对这样较大的组合数取模，容易想到用卢卡斯定理解决
但是问题在于本题的模数太大
所以我们考虑对这个模数进行质因数分解：

999911658=234679*35617

如果对这四个模数分别取模，就能把模数限制在一个可以接受的大小，并建立出4个同余方程
然后再利用中国剩余定理，解出这个指数即可

总结

本题的关键在于遇见大模数后进行质因数分解在进行中国剩余定理的转化

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define int long long
const int N=3e5+100;
const ll mod=999911658;
const ll Mod=999911659;
ll ksm(ll x,ll o){ll ans=1,res=x%Mod;while(o){if(o&1) ans=(ans*res)%Mod;res=(res*res)%Mod;o>>=1;}return ans%Mod;
}
ll n;
ll g;
ll m[5]={0,2,3,4679,35617},M[5],MM,t[5];
ll d[N],num;
void divide(ll x){int top=floor(sqrt(x));d[++num]=1;for(int i=2;i<=top;i++){if(x%i==0){d[++num]=i;if(n/i!=i) d[++num]=n/i;}}d[++num]=x;return;
}
ll ni[5][N],jc[N];
ll a[5];ll C(int k,ll d,ll n){if(d>n) return 0;if(d==n) return 1;return (jc[n]*ni[k][d]*ni[k][n-d])%m[k];
}
ll lucas(int k,ll d,ll n){if(d==n) return 1;if(d>n) return 0;return (C(k,d%m[k],n%m[k])%m[k])*lucas(k,d/m[k],n/m[k])%m[k];
}
void gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(b==0){x=1;y=0;return;}gcd(b,a%b,x,y);int o=y;y=x-a/b*y;x=o;y%=mod;x%=mod;
}
signed main(){scanf("%lld%lld",&n,&g);if(g%Mod==0) {printf("0");return 0;}divide(n);jc[0]=jc[1]=1;for(int i=1;i<=4;i++) ni[i][0]=ni[i][1]=1;for(int i=2;i<=35167;i++){jc[i]=(jc[i-1]*i)%mod;for(int j=1;j<=4;j++) ni[j][i]=((m[j]-m[j]/i)*ni[j][m[j]%i])%m[j];}for(int i=2;i<=35167;i++) for(int j=1;j<=4;j++)ni[j][i]=(ni[j][i]*ni[j][i-1])%m[j];for(int i=1;i<=num;i++){for(int j=1;j<=4;j++){a[j]=(a[j]+lucas(j,d[i],n))%m[j];//printf("d=%lld mod=%lld ans=%lld\n",d[i],m[j],lucas(j,d[i],n)%m[j]);}}MM=mod;ll ans=0;for(int i=1;i<=4;i++){M[i]=MM/m[i];ll o;gcd(M[i],m[i],t[i],o);ans+=(t[i]*M[i]*a[i])%mod;ans%=mod;}
//  for(int j=1;j<=4;j++){//      printf("k=%d mod=%d:\n",j,m[j]){//          for(int i=1;i<=num;i++){//              printf
//          }
//      }
//  }ans%=MM;while(ans<0) ans+=MM;printf("%lld\n",ksm(g,ans)%Mod);return 0;
}
/*
4
5 1
5 2
7 3
4 2
*/

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