~~~~~~~ 自然数是人类在长期的生产和交换过程中为了计量事物件数或表示事物次序而逐渐形成的。可能人类在起初的时候只会用物物逐一比较的方法来分别多寡，后来学会了将物与第三者（如手指、绳结等）进行间接比较，从而逐渐产生了不依附于具体对象的的“个数”概念。随着使用次数的增加，这种“个数”概念逐渐被赋予了某种记号或语音，进而形成了最早的数。

~~~~~~~ 为了使数的系统有严密的逻辑基础，191919世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论：自然数的序数理论和基数理论。这种不借助任何实物模型，通过公理抽象地理解数字是一项伟大的发现，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。

1. 序数理论

~~~~~~~ 从表示事物次序的角度给自然数这么基本的数学对象下定义，一个可行的方法是从自然数本身的性质中选择一些最基本的、相互独立的性质，用它们能够推导出自然数的其他全部性质，并能把自然数完整、唯一地刻画出来。

1.1皮亚诺公理

~~~~~~~ 自然数列具有如下形象：从一个起始元素(111或000)出发，一个数后面紧挨着另一个数，永不重复且永无休止地一直延续着。分析这一描述，即可从中总结出皮亚诺公理的前四条。

(1)非形式化定义

①零是自然数。

~~~ 零：起始元素，可用符号“000”表示。

②每个自然数都有一个后继，其后继也是自然数。（如果nnn是自然数，则n′n'n′也是自然数。）

~~~ 后继：后面跟着或紧挨着的一个东西，nnn的后继记为n′n'n′。该条公理规定一个自然数后面紧挨着的东西也是自然数。

~~~ 根据公理①②，0，0′，0′′(即(0′)′)，0′′′,⋯0，0'，0''(即(0')')，0''',\cdots0，0′，0′′(即(0′)′)，0′′′,⋯都是自然数。可以定义111为数字0′0'0′，222为数字(0′)′(0')'(0′)′等等。即：1:=0′1:=0'1:=0′，2:=(0′)′,⋯2:=(0')',\cdots2:=(0′)′,⋯。:=表示：据定义等于，用右边定义左边。

③零不是任何自然数的后继。（对于任意自然数nnn，n′≠0n' \ne 0n′=0。）

~~~ 公理①②可以从000开始永无休止地定义自然数，但无法保证定义出的自然数跟000是不重复的。

④不同的自然数有不同的后继。（如果n′=m′n'=m'n′=m′，则n=mn=mn=m。）

~~~ 公理③确保了000之后的自然数跟000是不重复的，但无法保证000之后的自然数之间互不重复。比如0′0'0′与(0′)′(0')'(0′)′，即111与222，前三条公理无法保证1≠21 \ne 21=2。

■证明4′≠4.证明：由公理③得：0′≠0，即1≠0，由公理④得：1′≠0′，即2≠1，重复使用公理④得：3≠2，4≠3，5=4′≠4.■证明5≠3.证明：假设5=3成立，则有4′=2′，根据公理④，有4=2，则3′=1′，重复使用公理④，有3=1，则2′=0′，则0=1′，与公理③矛盾，故5≠3.\begin{array}{lll} \begin{aligned} &\blacksquare ~证明4' \ne 4.\\ &证明：由公理③得：0' \ne 0，即1 \ne 0，\\ &由公理④得：1' \ne 0'，即2 \ne 1，\\ &重复使用公理④得：\\ &3 \ne 2，4 \ne 3，5=4' \ne 4.\\ \end{aligned} &~~~~~& \begin{aligned} &\blacksquare ~证明5 \ne 3.\\ &证明：假设5=3成立，则有4'=2'，\\ &根据公理④，有4=2，则3'=1'，\\ &重复使用公理④，有3=1，则2'=0'，\\ &则0=1'，与公理③矛盾，故5 \ne 3.\\ \end{aligned} \end{array}■ 证明4′=4.证明：由公理③得：0′=0，即1=0，由公理④得：1′=0′，即2=1，重复使用公理④得：3=2，4=3，5=4′=4. ■ 证明5=3.证明：假设5=3成立，则有4′=2′，根据公理④，有4=2，则3′=1′，重复使用公理④，有3=1，则2′=0′，则0=1′，与公理③矛盾，故5=3.

⑤归纳公理：

命题形式：

设P(n)P(n)P(n)是关于自然数nnn的一个命题或性质，如果P(0)P(0)P(0)为真且P(n)P(n)P(n)为真时一定有P(n′)P(n')P(n′)也为真，那么对于任意自然数n,n,n,P(n)P(n)P(n)一定为真。
集合形式：

设由自然数组成的某个集合含有零，且每当该集合含有某个自然数时便同时含有这个数的后继，那么该集合必定含有全部自然数（即该集合与自然数集合相等）。

❶\color{gray}❶❶归纳公理的两种形式都可以用集合语言表示：

命题形式：[P(0)∧∀n∈N(P(n)→P(n′))]→[∀n∈N(P(n))].\left[P(0) \land \forall n \in N \big(P(n) \to P(n')\big)\right] \to \left[\forall n \in N \big(P(n)\big)\right].[P(0)∧∀n∈N(P(n)→P(n′))]→[∀n∈N(P(n))].

P→(Q→R)≡P∧Q→R.P \to (Q \to R) \equiv P \land Q \to R.P→(Q→R)≡P∧Q→R.故：∀n∈N(P(n)→P(n′))≡∀n((n∈N)∧P(n)→P(n′)).\forall n \in N \big(P(n) \to P(n')\big) \equiv \forall n \big((n \in N) \land P(n) \to P(n') \big).∀n∈N(P(n)→P(n′))≡∀n((n∈N)∧P(n)→P(n′)).
集合形式：M⊆N∧0∈M∧∀n(n∈M→n′∈M)→M=N.M \sube N \land 0 \in M \land \forall n(n \in M \to n' \in M) \to M=N.M⊆N∧0∈M∧∀n(n∈M→n′∈M)→M=N.

❷\color{gray}❷❷归纳公理的两种形式本质是相同的。

命题形式严格来说是一种公理模式，在这个模板上可以构造出无穷多个公理。比如：

设关于自然数的命题P(k):k∈M,P(k):k \in M,P(k):k∈M,则M⊆N,M \sube N,M⊆N,

1∘P(0):0∈M1^\circ P(0):0 \in M1∘P(0):0∈M为真，

2∘P(k)→P(k′):k∈M→k′∈M2^\circ P(k) \to P(k'):k \in M \to k' \in M2∘P(k)→P(k′):k∈M→k′∈M为真，

则∀k(k∈N→P(k)):∀k(k∈N→k∈M)\forall k (k \in N \to P(k)):\forall k (k \in N \to k \in M)∀k(k∈N→P(k)):∀k(k∈N→k∈M)为真，即N⊆MN \sube MN⊆M。

已知M⊆NM \sube NM⊆N，所以M=NM=NM=N，得到集合形式。
由集合形式也可得到命题形式：

设M={x∈N∣P(x)}M=\{x \in N \mid P(x)\}M={x∈N∣P(x)}(集合MMM为满足P(x)P(x)P(x)的自然数的集合)，

1∘1^\circ1∘0∈M0 \in M0∈M,P(0)P(0)P(0)成立，

2∘2^\circ2∘x∈M→x′∈Mx \in M \to x' \in Mx∈M→x′∈M,P(x)→P(x′)P(x) \to P(x')P(x)→P(x′)成立，

由1∘1^\circ1∘与2∘2^\circ2∘知，MMM满足归纳公理集合形式的前提条件，故M=NM=NM=N。

所以P(x)P(x)P(x)对任意自然数都成立，得到命题形式。

~~~~~~~ 上述公理只是描述了自然数具备的性质，并未规定自然数的形式。有多种形式的数系符合上述性质，比如：{0,1,2,3,⋯},\{0,1,2,3,\cdots\},{0,1,2,3,⋯},{O,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,⋯},\rm\{O,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,\cdots\},{O,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,⋯},{\{{〇，一，二，三,⋯}\cdots\}⋯}等等，这些数系之间可以构造出一一对应关系，因此它们是完全等价的。

~~~~~~~ 从“起始元素”和“后继”这两个基本概念出发，前四条公理可以完整、唯一地刻画出自然数。至此，归纳公理是对递推规律的逻辑总结，仅由符合前四条公理的元素组成的集合是自然数集。

(2)形式化定义

戴德金的简单无限集：

若映射φ\varphiφ把集KKK映射到KKK的内部，即若n∈K→φ(n)∈K,n \in K \to \varphi(n) \in K,n∈K→φ(n)∈K,则称KKK为相对于φ\varphiφ的链。

具有以下性质的集NNN叫做简单无限集：

①NNN有个起始元a;a;a;

②存在映射φ\varphiφ使NNN是相对于φ\varphiφ的链，即NNN与φ\varphiφ满足n∈N→φ(n)∈N;n \in N \to \varphi(n) \in N;n∈N→φ(n)∈N;

③起始元aaa不是φ\varphiφ的像；

④映射φ\varphiφ是单射；

⑤NNN是所有相对于φ\varphiφ并含有起始元aaa的链的交。

~~~~~~~ 戴德金将自然数集的概念从简单无限集的概念中提纯出来，经皮亚诺的研究总结，推广开来，被人们称作“皮亚诺公理”。因此可以看出简单无限集与皮亚诺公理的内涵是一致的。

~~~~~~~ 在集合的基础上，满足前四条公理或性质的集合不一定是自然数集，即某集合若包含自然数集，则该集合同样满足前四条公理或性质。性质⑤与公理⑤异曲同工，可以剔除含有自然数之外的多余元素的集合，“链的交”一词蕴含着简单无限集NNN具有最小性与唯一性。可用集合语言表示为：
a∈K∧(n∈K→φ(n)∈K)→N⊆K.a \in K \land (n \in K \to \varphi(n) \in K) \to N \sube K.a∈K∧(n∈K→φ(n)∈K)→N⊆K.

~~~~~~~ 若MMM也是相对于φ\varphiφ的链，则满足a∈M∧(n∈M→φ(n)∈M)→N⊆M,a \in M \land (n \in M \to \varphi(n) \in M) \to N \sube M,a∈M∧(n∈M→φ(n)∈M)→N⊆M,如果附加条件MMM是NNN的子集，则有M=N.M=N.M=N.

~~~~~~~ 即:M⊆N∧a∈M∧(n∈M→φ(n)∈M)→M=N.:M \sube N \land a \in M \land (n \in M \to \varphi(n) \in M) \to M=N.:M⊆N∧a∈M∧(n∈M→φ(n)∈M)→M=N.该式即是集合语言表示的数学归纳法。

进一步可抽象归纳为以下定义形式：

戴德金-皮亚诺结构：

戴德金-皮亚诺结构为满足下列条件的三元组(X,a,f):(X,a,f):(X,a,f):

①a∈Xa \in Xa∈X;

②f:X→Xf:X \to Xf:X→X；

③a∉f(X)a \notin f(X)a∈/f(X);

④fff为单射；

⑤S⊆X∧a∈S∧(x∈S→f(x)∈S)→S=XS \sube X \land a \in S \land (x \in S \to f(x) \in S)\to S=XS⊆X∧a∈S∧(x∈S→f(x)∈S)→S=X。
自然数集合N:N:N:

∃N\exists N∃N

(\big((

N≠∅N \ne \varnothingN=∅

∧\land∧∃f:N→N(∀x∀y(x∈N∧y∈N∧x≠y)→f(x)≠f(y))\exists f:N \to N\big(\forall x \forall y (x \in N \land y \in N \land x \ne y) \to f(x) \ne f(y) \big)∃f:N→N(∀x∀y(x∈N∧y∈N∧x=y)→f(x)=f(y))

∧\land∧∃0(0∈N∧∄x(x∈N∧f(x)=0))\exists 0\big(0 \in N \land \nexists x(x \in N \land f(x)=0)\big)∃0(0∈N∧∄x(x∈N∧f(x)=0))

∧\land∧∀S((S⊆N∧0∈S∧∀x(x∈S→f(x)∈S))→S=N)\forall S\Big(\big(S \sube N \land 0 \in S \land \forall x(x \in S \to f(x) \in S)\big) \to S=N\Big)∀S((S⊆N∧0∈S∧∀x(x∈S→f(x)∈S))→S=N)

).\big).).

第二条定义NNN上映射fff，需要说明NNN不是空集，因此有了第一条。并且第二条是对公理②④的合并。

第三条是对公理①③的合并，第四条即是归纳公理。

形式化定义与非形式化定义所概括的自然数的基本性质是一致的。\colorbox{F1F1F1}{形式化定义与非形式化定义所概括的自然数的基本性质是一致的。}形式化定义与非形式化定义所概括的自然数的基本性质是一致的。

定理1\boldsymbol{1}1：对于任意自然数n,n′≠n.{n,n' \ne n.}n,n′=n.

证法一：

设命题P(n):n′≠n,P(n):n' \ne n,P(n):n′=n,

由公理③:0′≠0,:0' \ne 0,:0′=0,即P(0)P(0)P(0)成立，

若对于自然数i,i,i,P(i):i′≠iP(i):i' \ne iP(i):i′=i成立，

由公理④:(i′)′≠i′,:(i')' \ne i',:(i′)′=i′,

则P(i′)P(i')P(i′)成立，由归纳公理知，对于任意

自然数n,n,n,P(n):n′≠nP(n):n' \ne nP(n):n′=n成立。

证法二：

设M={n∈N∣n′≠n},M=\{n \in N \mid n' \ne n\},M={n∈N∣n′=n},

由公理③:0′≠0,:0' \ne 0,:0′=0,所以0∈M,0 \in M,0∈M,

若i∈M,i \in M,i∈M,由MMM定义,i∈N,,i \in N,,i∈N,且i′≠i,i' \ne i,i′=i,

由公理②,i′∈N,,i' \in N,,i′∈N,由公理④,(i′)′≠i′,,(i')' \ne i',,(i′)′=i′,

则i′∈M,i' \in M,i′∈M,由归纳公理知，M=N.M=N.M=N.

所以对于任意自然数n,n,n,n′≠n.n' \ne n.n′=n.

定理2\boldsymbol{2}2：若n≠0,n \ne 0,n=0,则唯一存在m,m,m,使m′=n.m'=n.m′=n.(每个非零自然数都有唯一“前邻”。)

~~~ 证明：唯一性，若x′=n,m′=n,x'=n,m'=n,x′=n,m′=n,由公理④得:x=m.:x=m.:x=m.

~~~ 存在性，设M={0}∪{n∈N∣存在m使m′=n}.M=\{0\} \cup \{n \in N \mid 存在m使m'=n\}.M={0}∪{n∈N∣存在m使m′=n}.

~~~ 1∘1^\circ1∘0∈M,0 \in M,0∈M,

~~~ 2∘2^\circ2∘假设x∈M,x \in M,x∈M,显然有x′∈M.x' \in M.x′∈M.(x′x'x′的前邻即是xxx本身)

~~~ 由归纳公理知，M=N,M=N,M=N,所以每个非零自然数都有唯一“前邻”。

(3)最小归纳集

(1) 最小归纳集ω={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}},⋯}\omega=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\},{\color{blue}\{}\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}{\color{blue}\}},\cdots\}ω={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}},⋯}具有以下性质：

①∅∈ω;\varnothing \in \omega \, ;∅∈ω; ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 由无穷公理与ω的定义可得。\color{gray}由无穷公理与\omega的定义可得。由无穷公理与ω的定义可得。

②若x∈ω,x \in \omega,x∈ω,则x′∈ω;x' \in \omega \, ;x′∈ω; ~~~ 由无穷公理与ω的定义可得。\color{gray}由无穷公理与\omega的定义可得。由无穷公理与ω的定义可得。

③x′≠∅;x' \ne \varnothing \, ;x′=∅; ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 由后继的定义得:∅∈x∪{x}=x′.\color{gray}由后继的定义得:\varnothing \in x \cup \{x\}=x'.由后继的定义得:∅∈x∪{x}=x′.

④∀x,y∈ω(x≠y→x′≠y′);\forall x,y \in \omega (x \ne y \to x' \ne y');∀x,y∈ω(x=y→x′=y′);

~~~ 证明：当x≠yx \ne yx=y时，假设x′=y′,x'=y',x′=y′,即x∪{x}=y∪{y},x \cup \{x\}=y \cup \{y\},x∪{x}=y∪{y},

~~~ 因为x∈x′,x \in x',x∈x′,所以x∈y∪{y},x \in y \cup \{y\},x∈y∪{y},又因为x≠y,x \ne y,x=y,故x∈y;x \in y \, ;x∈y;

~~~ 同理可得:y∈x,:y \in x,:y∈x,违反了正则公理，故假设不成立。

⑤设M⊆ω,M \sube \omega,M⊆ω,满足∅∈M∧∀x(x∈M→x′∈M),\varnothing \in M \land \forall x(x \in M \to x' \in M),∅∈M∧∀x(x∈M→x′∈M),则M=ω.M=\omega.M=ω.

~~~ 证明：设M是归纳集，根据定义，ω⊆M,\omega \sube M,ω⊆M,

~~~ 即∅∈M∧∀x(x∈M→x′∈M)→ω⊆M,\varnothing \in M \land \forall x(x \in M \to x' \in M) \to \omega \sube M,∅∈M∧∀x(x∈M→x′∈M)→ω⊆M,

~~~ 若已知MMM是ω\omegaω的子集，即M⊆ω,M \sube \omega,M⊆ω,则M=ω,M=\omega,M=ω,则上式变为：

~~~ ∅∈M∧∀x(x∈M→x′∈M)→ω=M.\varnothing \in M \land \forall x(x \in M \to x' \in M) \to \omega = M.∅∈M∧∀x(x∈M→x′∈M)→ω=M.

~~~ 因此，最小归纳集的概念中蕴含归纳公理(原理)。

(2) 最小归纳集与皮亚诺公理：

~~~~~~~ 最小归纳集的555条性质与皮亚诺公理的555条公理(简单无限集的555条性质)等价，因此皮亚诺公理系统可纳入集合论框架内，也即自然数可纳入集合论框架内。把最小归纳集ω\omegaω叫做自然数集，ω\omegaω的元素叫做自然数，可作如下定义：

0:=∅,0:=\varnothing,0:=∅,

1:=0′=0∪{0}={0},1:=0'=0 \cup \{0\}=\{0\},1:=0′=0∪{0}={0},

2:=1′=1∪{1}={0,1},2:=1'=1 \cup \{1\}=\{0,1\},2:=1′=1∪{1}={0,1},

3:=2′=2∪{2}={0,1,2},3:=2'=2 \cup \{2\}=\{0,1,2\},3:=2′=2∪{2}={0,1,2},

⋯⋅⋯\cdots \cdot \cdots⋯⋅⋯

1.2加法

(1)定义

自然数加法，用符号“+++”表示，对任意自然数m,nm,nm,n，定义加法运算如下：

{m+0:=m,m+n′:=(m+n)′.\begin{cases} m+0:=m,\\[1ex] m+n':=(m+n)'. \end{cases}{m+0:=m,m+n′:=(m+n)′.

由定义得：m+1=m′,m+2=m′′,m+3=m′′′m+1=m',m+2=m'',m+3=m'''m+1=m′,m+2=m′′,m+3=m′′′，以此类推。

■\blacksquare■ 证明两个自然数的和仍是自然数。

~~~ 证明：设m,nm,nm,n为任意自然数，根据公理①和加法定义，m+0=mm+0=mm+0=m是自然数；

~~~ 假设m+nm+nm+n是自然数，根据加法定义和公理②，m+n′=(m+n)′m+n'=(m+n)'m+n′=(m+n)′也是自然数；

~~~ 由归纳公理知：对于任意自然数m,nm,nm,n，它们的和仍是自然数。

引理1:∀n∈N,0+n=n.\forall n \in N,0+n=n.∀n∈N,0+n=n.

~~~ 证明：由加法定义：0+0=0;0+0=0;0+0=0;

~~~ 假设0+n=n0+n=n0+n=n成立，

~~~ 由加法定义：

~~~ 0+n′=(0+n)′;0+n'=(0+n)';0+n′=(0+n)′;

~~~ 根据假设：(0+n)′=n′;(0+n)'=n';(0+n)′=n′;

~~~ 所以，0+n′=n′;0+n'=n';0+n′=n′;

~~~ 由归纳公理知,∀n∈N,0+n=n.,\forall n \in N,0+n=n.,∀n∈N,0+n=n.

引理2:∀m,n∈N,m′+n=(m+n)′.\forall m,n \in N,m'+n=(m+n)'.∀m,n∈N,m′+n=(m+n)′.

~~~ 证明：由加法定义:m′+0=m′=(m+0)′;m'+0=m'=(m+0)';m′+0=m′=(m+0)′;

~~~ 假设m′+n=(m+n)′m'+n=(m+n)'m′+n=(m+n)′成立，

~~~ 则由加法定义：m′+n′=(m′+n)′,m'+n'=(m'+n)',m′+n′=(m′+n)′,

~~~ 根据假设：(m′+n)′=(m+n)′′,(m'+n)'=(m+n)'',(m′+n)′=(m+n)′′,

~~~ 又由加法定义：(m+n)′′=(m+n′)′,(m+n)''=(m+n')',(m+n)′′=(m+n′)′,

~~~ 所以m′+n′=(m+n′)′m'+n'=(m+n')'m′+n′=(m+n′)′成立；

~~~ 由归纳公理知，∀m,n∈N,m′+n=(m+n)′.\forall m,n \in N,m'+n=(m+n)'.∀m,n∈N,m′+n=(m+n)′.

★\bigstar★ 正自然数：n≠0,n \ne 0,n=0,称nnn是正的。

推论1:若aaa是正的且bbb是任意自然数，则a+ba+ba+b是正的。

~~~ 证明：1∘1^\circ1∘若b=0,b=0,b=0,则a+b=a+0=aa+b=a+0=aa+b=a+0=a是正的，

~~~ 2∘2^\circ2∘假设a+ba+ba+b是正的，a+b′=(a+b)′≠0,a+b'=(a+b)' \ne 0,a+b′=(a+b)′=0,则a+b′a+b'a+b′是正的，

~~~ 由归纳公理知：推论111成立。

推论2:若a+b=0,a+b=0,a+b=0,则a=b=0.a=b=0.a=b=0.

~~~ 证法一：假设a,ba,ba,b不全为000，不妨设b≠0,b \ne 0,b=0,则a+ba+ba+b是正的，与a+b=0a+b=0a+b=0矛盾，故a=b=0.a=b=0.a=b=0.

~~~ 证法二：假设a,ba,ba,b不全为000，不妨设b≠0,b \ne 0,b=0,由定理222知：存在x′=b,a+b=a+x′=(a+x)′x'=b,a+b=a+x'=(a+x)'x′=b,a+b=a+x′=(a+x)′ ≠0,\ne 0,=0,与a+b=0a+b=0a+b=0矛盾，故a=b=0.a=b=0.a=b=0.

(2)运算律

①交换律：a+b=b+a.a+b=b+a.a+b=b+a.

~~~ 证明：当a=0a=0a=0时，0+b=b=b+0;0+b=b=b+0;0+b=b=b+0;(前面等式用引理111，后式用定义。)

~~~ 假设a+b=b+a.a+b=b+a.a+b=b+a.成立，

~~~ 则a′+b=(a+b)′=(b+a)′=b+a′;a'+b=(a+b)'=(b+a)'=b+a';a′+b=(a+b)′=(b+a)′=b+a′;(前面等式用引理222，中间用归纳假设，后式用定义。)

~~~ 由归纳公理知：交换律成立。

②结合律：(a+b)+c=a+(b+c).(a+b)+c=a+(b+c).(a+b)+c=a+(b+c).

~~~ 证明：当c=0c=0c=0时，(a+b)+0=a+b=a+(b+0).(a+b)+0=a+b=a+(b+0).(a+b)+0=a+b=a+(b+0).

~~~ 假设(a+b)+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c),

~~~ 则(a+b)+c′=((a+b)+c)′=(a+(b+c))′=(a+(b+c)′)=(a+(b+c′));(a+b)+c'=\big((a+b)+c\big)'=\big(a+(b+c)\big)'=\big(a+(b+c)' \big)=\big(a+(b+c')\big);(a+b)+c′=((a+b)+c)′=(a+(b+c))′=(a+(b+c)′)=(a+(b+c′));

~~~ 由归纳公理知：结合律成立。

③消去律：若a+b=a+ca+b=a+ca+b=a+c，则b=c.b=c.b=c.

~~~ 证明：当a=0a=0a=0时，由0+b=0+c0+b=0+c0+b=0+c，得b=c;b=c;b=c;

~~~ 假设由a+b=a+ca+b=a+ca+b=a+c，可得b=cb=cb=c成立，

~~~ 因为a′+b=(a+b)′a'+b=(a+b)'a′+b=(a+b)′，a′+c=(a+c)′,a'+c=(a+c)',a′+c=(a+c)′,

~~~ 若a′+b=a′+c,a'+b=a'+c,a′+b=a′+c,则(a+b)′=(a+c)′,(a+b)'=(a+c)',(a+b)′=(a+c)′,由公理④得:a+b=a+c,:a+b=a+c,:a+b=a+c,则b=cb=cb=c成立，

~~~ 所以由归纳公理知：消去律成立。

1.3自然数的序

在加法概念的基础上定义序的概念。

(1)定义

①①① ∀m,n∈N,m⩽n\forall m,n \in N,m \leqslant n∀m,n∈N,m⩽n(或n⩾mn \geqslant mn⩾m)，当且仅当∃a∈N,\exist a \in N,∃a∈N,使得n=m+a.n=m+a.n=m+a.
~
②②② ∀m,n∈N,m<n\forall m,n \in N,m < n∀m,n∈N,m<n(或n>mn > mn>m)，当且仅当m⩽nm \leqslant nm⩽n且m≠n.m \ne n.m=n.
~
②′②'②′ m<nm < nm<n当且仅当n=m+an=m+an=m+a且a≠0.a \ne 0.a=0.

②↔②′.② \leftrightarrow ②'.②↔②′.

~~~ 证明：1∘1^\circ1∘②→②′:②\to ②':②→②′:

~~~ 因为m⩽n,m \leqslant n,m⩽n,由定义①得n=m+a,n=m+a,n=m+a,则n+0=m+a,n+0=m+a,n+0=m+a,

~~~ 假设a=0,a=0,a=0,根据消去律，必有n=m,n=m,n=m,与已知矛盾，故a≠0.a \ne 0.a=0.②′②'②′得证。

~~~ 2∘2^\circ2∘②′→②:②' \to ②:②′→②:

~~~ 因为n=m+a,n=m+a,n=m+a,由定义①得m⩽n,m \leqslant n,m⩽n,并且n+0=n=m+a,n+0=n=m+a,n+0=n=m+a,

~~~ 假设n=m,n=m,n=m,根据消去律，必有a≠0,a \ne 0,a=0,与已知矛盾，故n≠m.n \ne m.n=m.②得证。

(2)性质

①自反性：a⩾aa \geqslant aa⩾a或a⩽a.a \leqslant a.a⩽a.

~~~ 证明：∃0∈N,\exists 0 \in N,∃0∈N,使得a=a+0.a=a+0.a=a+0.

②传递性：若a⩾ba \geqslant ba⩾b并且b⩾c,b \geqslant c,b⩾c,那么a⩾c.a \geqslant c.a⩾c.

~~~ 证明：∃x,y∈N,\exists x,y \in N,∃x,y∈N,使得a=b+x,b=c+y,a=b+x,b=c+y,a=b+x,b=c+y,

~~~ 则c+(y+x)=(c+y)+x=b+x=a,c+(y+x)=(c+y)+x=b+x=a,c+(y+x)=(c+y)+x=b+x=a,因为y+xy+xy+x也是自然数，

~~~ 所以a⩾c.a \geqslant c.a⩾c.

③可比性：a⩽ba \leqslant ba⩽b与b⩽ab \leqslant ab⩽a二者必居其一。

~~~ 证明：当a=0a=0a=0时，0+b=b,0+b=b,0+b=b,所以0⩽b,0 \leqslant b,0⩽b,

~~~ 假设aaa与任何bbb都可比，即a⩽ba \leqslant ba⩽b或b⩽a,b \leqslant a,b⩽a,

~~~ 1∘1^\circ1∘当b⩽ab \leqslant ab⩽a时，有b+x=a,b+x=a,b+x=a,则b+x′=(b+x)′=a′,b+x'=(b+x)'=a',b+x′=(b+x)′=a′,b⩽a′b \leqslant a'b⩽a′成立。

~~~ 2∘2^\circ2∘当a⩽ba \leqslant ba⩽b时，有a+y=b,a+y=b,a+y=b,

若y=0,y=0,y=0,则a=b,a′=b′=(b+0)′=b+0′,a=b,a'=b'=(b+0)'=b+0',a=b,a′=b′=(b+0)′=b+0′,此时b⩽a′b \leqslant a'b⩽a′成立；
若y≠0,y \ne 0,y=0,设y=u′,y=u',y=u′,则a+u′=b,a+u'=b,a+u′=b,且a+u′=(a+u)′=a′+u=b,a+u'=(a+u)'=a'+u=b,a+u′=(a+u)′=a′+u=b,此时a′⩽ba' \leqslant ba′⩽b成立。

~~~ 总之，a′a'a′与任何bbb都可比，由归纳公理知，可比性成立。

④三歧性：a<b,a=b,a>ba < b,a=b,a > ba<b,a=b,a>b三者必居其一。由可比性可得。

⑤反对称性：若a⩾ba \geqslant ba⩾b并且b⩾a,b \geqslant a,b⩾a,则a=b.a=b.a=b.

~~~ 证明：∃x,y∈N,\exists x,y \in N,∃x,y∈N,使得a=b+x,b=a+y,a=b+x,b=a+y,a=b+x,b=a+y,

~~~ 则a+b=a+b+(x+y)=a+b+0,a+b=a+b+(x+y)=a+b+0,a+b=a+b+(x+y)=a+b+0,由消去律得：x+y=0,x+y=0,x+y=0,则x=y=0,x=y=0,x=y=0,

~~~ 所以a=b.a=b.a=b.

⑥加法保持序不变：a⩾b,a \geqslant b,a⩾b,当且仅当a+c⩾b+c.a+c \geqslant b+c.a+c⩾b+c.

~~~ 证明：1∘1^\circ1∘已知a=b+x,a=b+x,a=b+x,则a+c=b+c+x,a+c=b+c+x,a+c=b+c+x,所以a+c⩾b+c.a+c \geqslant b+c.a+c⩾b+c.

~~~ 2∘2^\circ2∘已知a+c=b+c+x,a+c=b+c+x,a+c=b+c+x,则a+c=(b+x)+c,a+c=(b+x)+c,a+c=(b+x)+c,由消去律得：a=b+x,a=b+x,a=b+x,所以a⩾b.a \geqslant b.a⩾b.

⑦a<b,a<b,a<b,当且仅当a′⩽b.a' \leqslant b.a′⩽b.

~~~ 证明：1∘1^\circ1∘已知b=a+x,x≠0,b=a+x,x \ne 0,b=a+x,x=0,则存在u′=x,b=a+u′=(a+u)′=a′+u,u'=x,b=a+u'=(a+u)'=a'+u,u′=x,b=a+u′=(a+u)′=a′+u,所以a′⩽b.a' \leqslant b.a′⩽b.

~~~ 2∘2^\circ2∘已知b=a′+y=(a+y)′=a+y′,b=a'+y=(a+y)'=a+y',b=a′+y=(a+y)′=a+y′,因为y′≠0,y' \ne 0,y′=0,所以a<b.a<b.a<b.

(3)最小数原理

任何非空自然数集中都有最小的自然数。

归纳公理→\to→最小数原理。

证明：设AAA是自然数集的非空子集，MMM是不大于AAA中任何数的所有自然数的集合；

即M={m∈N∣∀a∈A,m⩽a}M=\{m \in N| \forall a \in A,m \leqslant a\}M={m∈N∣∀a∈A,m⩽a}，设M∩A=∅.M \cap A=\varnothing.M∩A=∅.

1∘1^\circ1∘∀a∈A,0+a=a,\forall a \in A,0+a=a,∀a∈A,0+a=a,所以0⩽a,0 \leqslant a,0⩽a,0∈M,0 \in M,0∈M,

2∘2^\circ2∘假设x∈M,x \in M,x∈M,由M∩A=∅,M \cap A=\varnothing,M∩A=∅,则x∉A,x \notin A,x∈/A,于是∀a∈A,\forall a \in A,∀a∈A,x<a.x<a.x<a.

由性质⑦得：x′⩽a,x' \leqslant a,x′⩽a,所以x′∈M.x' \in M.x′∈M.

由归纳公理知：M=N.M=N.M=N.这与M∩A=∅M \cap A=\varnothingM∩A=∅而A≠∅A \ne \varnothingA=∅矛盾，

所以M∩A≠∅,M \cap A \ne \varnothing,M∩A=∅,MMM与AAA的公共元素即为AAA的最小数。
最小数原理→\to→归纳公理。

证明：设SSS是自然数集的子集，0∈S,且k∈S→k′∈S;0 \in S,且k \in S \to k' \in S;0∈S,且k∈S→k′∈S;

假设S≠N,S \ne N,S=N,令Q=N−S={k∈N∣k∉S},Q=N-S=\{k \in N|k \notin S\},Q=N−S={k∈N∣k∈/S},则QQQ是非空集合；

根据最小数原理，QQQ中有一个最小元素，记为a;a;a;

因为0∈S,0 \in S,0∈S,所以a≠0,a \ne 0,a=0,因此存在u,u,u,使得u′=a,u'=a,u′=a,

则u∈S,u \in S,u∈S,因此u′∈S,u' \in S,u′∈S,即a∈S,a \in S,a∈S,与a∈Qa \in Qa∈Q矛盾。

因此假设不成立，S=NS=NS=N。

(4)强归纳法

设P(m)P(m)P(m)是关于自然数mmm的一个命题或性质，对于自然数m⩾m0m \geqslant m_0m⩾m0：若m0⩽k<mm_0 \leqslant k<mm0⩽k<m时P(k)P(k)P(k)都为真，则P(m)P(m)P(m)也为真（隐含P(m0)P(m_0)P(m0)为真）；那么对于任意自然数m⩾m0,m \geqslant m_0,m⩾m0,P(m)P(m)P(m)一定为真。

集合语言表示：

{(m⩾m0)→[((m0⩽k<m)→P(k))→P(m)]}→{(m⩾m0)→P(m)}.\big\{(m \geqslant m_0)\to \big[\big((m_0 \leqslant k <m) \to P(k)\big) \to P(m)\big]\big\} \to \big\{(m \geqslant m_0) \to P(m)\big\}.{(m⩾m0)→[((m0⩽k<m)→P(k))→P(m)]}→{(m⩾m0)→P(m)}.
当m=m0m=m_0m=m0时，

①根据三歧性，m0⩽k<mm_0 \leqslant k < mm0⩽k<m的真值为000，

②条件语句(m0⩽k<m)→P(k)(m_0 \leqslant k <m) \to P(k)(m0⩽k<m)→P(k)的真值为111，

③假设((m0⩽k<m0)→P(k))→P(m0)\big((m_0 \leqslant k <m_0) \to P(k)\big) \to P(m_0)((m0⩽k<m0)→P(k))→P(m0)为真时，由于前提为真，所以P(m0)P(m_0)P(m0)必定为真。

即该种表述隐式地包含了归纳基础:P(m0):P(m_0):P(m0)为真。

~~~ 分析：已知P(m0)P(m_0)P(m0)为真,P(k),P(k),P(k)对m0⩽k<mm_0 \leqslant k<mm0⩽k<m都为真时一定有P(m)P(m)P(m)也为真；求证∀m⩾m0,P(m)\forall m \geqslant m_0,P(m)∀m⩾m0,P(m)都为真。

~~~ 证明：设A={m∈N∣m⩾m0A=\{m \in N \mid m \geqslant m_0A={m∈N∣m⩾m0且P(m)不成立}P(m)不成立\}P(m)不成立}，

~~~ 假设A≠∅,A \ne \varnothing,A=∅,根据最小数原理，AAA有最小数，记为a,a,a,则P(a)P(a)P(a)不成立，

~~~ 因为aaa是AAA的最小数，所以当m0⩽k<am_0 \leqslant k < am0⩽k<a时，P(k)P(k)P(k)都成立，

~~~ 则P(a)P(a)P(a)成立，与假设矛盾，故A=∅.A= \varnothing.A=∅.

~~~ 所以满足已知条件的情况下，对于任意自然数m⩾m0,m \geqslant m_0,m⩾m0,P(m)P(m)P(m)一定为真。

1.4乘法

(1)定义

乘法是重复的加法运算。

{m×0:=0,m×n′:=(m×n)+m.\begin{cases} m \times 0:=0,\\[1ex] m \times n':=(m \times n)+m. \end{cases}{m×0:=0,m×n′:=(m×n)+m.

由定义得:m×1=0+m,m×2=0+m+m,:m \times 1=0+m,m \times 2=0+m+m,:m×1=0+m,m×2=0+m+m,等等。利用归纳法易证两个自然数的乘积仍然是自然数。

推论3:若n≠0,m≠0,n \ne 0,m \ne 0,n=0,m=0,则nm≠0.nm \ne 0.nm=0.

~~~ 证明：因为nnn和mmm都不为0,0,0,

~~~ 则∃x,y∈N,x′=n,y′=m,\exists x,y \in N,x'=n,y'=m,∃x,y∈N,x′=n,y′=m,

~~~ n×m=x′×y′=x′×y+x′=(x′×y+x)′≠0,n \times m=x' \times y'=x' \times y+x'=(x' \times y+x)' \ne 0,n×m=x′×y′=x′×y+x′=(x′×y+x)′=0,证毕。

引理3:0×m=0.0 \times m=0.0×m=0.

~~~ 证明：由乘法定义：

~~~ 0×0=0;0 \times 0=0;0×0=0;

~~~ 假设0×m=00 \times m=00×m=0成立，

~~~ 由乘法定义：

~~~ 0×m′=(0×m)+0;0 \times m'=(0 \times m)+0;0×m′=(0×m)+0;

~~~ 由假设可得：0×m′=00 \times m'=00×m′=0

~~~ 由归纳公理知,0×m=0.,0 \times m=0.,0×m=0.

引理4:m′×n=m×n+n.m' \times n=m \times n+n.m′×n=m×n+n.

~~~ 证明：由乘法定义:m′×0=0=m×0+0;m' \times 0=0=m \times 0+0;m′×0=0=m×0+0;

~~~ 假设m′×n=m×n+n.m' \times n=m \times n+n.m′×n=m×n+n.成立，

~~~ 根据定义：m′×n′=m′×n+m′,m'\times n'=m' \times n+m',m′×n′=m′×n+m′,

~~~ 根据假设：m′×n+m′=m×n+n+m′,m' \times n+m'=m \times n+n+m',m′×n+m′=m×n+n+m′,

~~~ 因为m×n+n+m′=m×n+m+n′,m \times n+n+m'=m \times n+m+n',m×n+n+m′=m×n+m+n′,

~~~ 所以m′×n′=m×n′+n′,m' \times n'=m \times n'+n',m′×n′=m×n′+n′,成立；

~~~ 由归纳公理知，m′×n=m×n+n.m' \times n=m \times n+n.m′×n=m×n+n.

(2)运算律

①交换律：a×b=b×a.a \times b=b \times a.a×b=b×a.

~~~ 证明：当b=0b=0b=0时，a×0=0=0×a,a \times 0=0=0 \times a,a×0=0=0×a,

~~~ 假设a×b=b×aa \times b=b \times aa×b=b×a成立，

~~~ 则a×b′=a×b+a=b×a+a=b′×a.a \times b'=a \times b+a=b \times a+a=b' \times a.a×b′=a×b+a=b×a+a=b′×a.

~~~ 由归纳公理知：交换律成立。

②分配律：a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca.a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca.a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca.

~~~ 证明：由于乘法是可交换的，所以只需证明第一个等式即可。

~~~ 当c=0c=0c=0时，a(b+0)=ab=ab+a⋅0,a(b+0)=ab=ab+a\cdot 0,a(b+0)=ab=ab+a⋅0,

~~~ 假设a(b+c)=ab+ac,a(b+c)=ab+ac,a(b+c)=ab+ac,

~~~ a(b+c′)=a(b+c)′=a(b+c)+a,a(b+c')=a(b+c)'=a(b+c)+a,a(b+c′)=a(b+c)′=a(b+c)+a,(第一个等式用加法定义，第二个等式用乘法定义。)

~~~ ab+ac′=ab+ac+a,ab+ac'=ab+ac+a,ab+ac′=ab+ac+a,根据假设，ab+ac+a=a(b+c)+a,ab+ac+a=a(b+c)+a,ab+ac+a=a(b+c)+a,

~~~ 所以a(b+c′)=ab+ac′,a(b+c')=ab+ac',a(b+c′)=ab+ac′,

~~~ 由归纳公理知：分配律成立。

③结合律：(a×b)×c=a×(b×c).(a \times b) \times c=a \times (b \times c).(a×b)×c=a×(b×c).

~~~ 证明：当c=0c=0c=0时，(a×b)×0=0=a×(b×0),(a \times b) \times 0=0=a \times (b \times 0),(a×b)×0=0=a×(b×0),

~~~ 假设(a×b)×c=a×(b×c),(a \times b) \times c=a \times (b \times c),(a×b)×c=a×(b×c),

~~~ (a×b)×c′=(a×b)×c+(a×b),(a \times b) \times c'=(a \times b) \times c+(a \times b),(a×b)×c′=(a×b)×c+(a×b),

~~~ a×(b×c′)=a×((b×c)+b)=a×(b×c)+(a×b),a \times (b \times c')=a \times ((b \times c)+b)=a\times (b \times c)+(a \times b),a×(b×c′)=a×((b×c)+b)=a×(b×c)+(a×b),

~~~ 所以(a×b)×c′=a×(b×c′),(a \times b) \times c'=a \times (b \times c'),(a×b)×c′=a×(b×c′),

~~~ 由归纳公理知：结合律成立。

(3)性质

①乘法保持序不变：a<ba<ba<b且c≠0,c \ne 0,c=0,那么ac<bc.ac<bc.ac<bc.

~~~ 证明：由a<ba<ba<b得b=a+xb=a+xb=a+x且x≠0,x \ne 0,x=0,

~~~ 所以bc=ac+xc,bc=ac+xc,bc=ac+xc,由于x,cx,cx,c均不等于0,0,0,

~~~ 故xc≠0,xc \ne 0,xc=0,所以ac<bc.ac<bc.ac<bc.

②消去律：若ac=bcac=bcac=bc且c≠0,c \ne 0,c=0,则a=b.a=b.a=b.

~~~ 证明：假设a≠b,a \ne b,a=b,根据三歧性，a<ba<ba<b或a>b,a>b,a>b,

~~~ 当a<ba<ba<b时，由于乘法保持序不变，所以ac<bc,ac<bc,ac<bc,与已知矛盾；

~~~ 同理，当a>ba>ba>b时，ac>bc,ac>bc,ac>bc,与已知矛盾；

~~~ 故假设不成立，a=b.a=b.a=b.

③欧几里得算法：

设nnn是一个自然数，qqq是一个正自然数，那么存在自然数mmm和r,r,r,满足0⩽r<q,0 \leqslant r<q,0⩽r<q,n=mq+r.n=mq+r.n=mq+r.

~~~ 证明：当n=0n=0n=0时，取m=r=0,m=r=0,m=r=0,则0⩽0<q,0 \leqslant 0<q,0⩽0<q,0=0⋅q+00=0 \cdot q+00=0⋅q+0成立，

~~~ 假设对于自然数n,n,n,上述命题成立，

~~~ 则n′=(mq+r)′=mq+r′,由于0⩽r<q,所以0⩽r′⩽q,n'=(mq+r)'=mq+r',由于0 \leqslant r<q,所以0 \leqslant r' \leqslant q,n′=(mq+r)′=mq+r′,由于0⩽r<q,所以0⩽r′⩽q,

~~~ 当r′<qr'<qr′<q时，对于n′n'n′上述命题成立，

~~~ 当r′=qr'=qr′=q时，n′=mq+q=m′q=m′q+0,n'=mq+q=m'q=m'q+0,n′=mq+q=m′q=m′q+0,因此对于n′n'n′上述命题也成立，

~~~ 所以在任何情况下都有n′n'n′对上述命题成立，由归纳公理知，上述命题对任意自然数都成立。

1.5指数运算

指数运算是重复的乘法运算。

{m0:=1,mn′:=mn×m.\begin{cases} m^0:=1,\\[1ex] m^{n'}:=m^n \times m. \end{cases}{m0:=1,mn′:=mn×m.

根据定义:00=1,x1=x0×x=1×x=x,x2=x1×x=x×x,x3=x2×x=x×x×x,:0^0=1,x^1=x^0 \times x=1 \times x=x,x^2=x^1 \times x=x \times x,x^3=x^2 \times x=x \times x \times x,:00=1,x1=x0×x=1×x=x,x2=x1×x=x×x,x3=x2×x=x×x×x,等等。

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1.1皮亚诺公理

(1)非形式化定义

(2)形式化定义

(3)最小归纳集

1.2加法

(1)定义

(2)运算律

1.3自然数的序

(1)定义

(2)性质

(3)最小数原理

(4)强归纳法

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1.3自然数的序

(1)定义

(2)性质

(3)最小数原理

(4)强归纳法

1.4乘法

(1)定义

(2)运算律

(3)性质

1.5指数运算

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