UA MATH577 逻辑与可计算性1 递归函数

三种基础函数
三类创造可计算的新函数的方法
- 复合函数
- Primitive Recursive
- Minimization

写在前面

这个系列是我上课的笔记，这个课是Jan Wehr老教授的Logic and Computation，用的教材是Boolos，Burgess，Jeffrey的Computability and Logic。Jan的研究领域是随机微分方程和数学物理，对具体的算法并不熟悉，再加上这是一个topic course，不是regular course，所以不会严格按照教材的叙述进行。这个课程的主要目标是阐述Goedel不完备定理的证明，为此需要先引入三种可计算性的定义：Turing机与Turing可计算性、Abacus可计算性与递归可计算性，以及两套形式逻辑系统：一阶逻辑与二阶逻辑。在完成这个主要目标后，会介绍一些计算理论的其他专题，比如算法复杂性、P/NP问题等。

我们先从递归可计算性开始，这一讲介绍递归函数。第一个概念是effectively computable function，这类函数指的是有明确的计算规则、表达式的函数，既然计算规则都可以明确写出来，那么这类函数当然是可计算的。基于这种函数定义可计算性的话就太狭隘了，因为并不是所有不能写出表达式、计算规则的函数都是不能计算的。所以Church用递归的思想扩展了effectively computable function的概念，定义递归函数(recursive function)，这是递归可计算性(recursive computability)的基础。Church是Turing的老师，他们二人是计算理论最重要的奠基人。下面我们介绍Church定义递归函数的思路。

三种基础函数

Church在定义递归函数的时候，首先定义了三种基础函数。

第一个基础函数是zero function，记为z(x)z(x)z(x)，不论什么输入x∈N∪{0}x \in \mathbb{N} \cup \{0\}x∈N∪{0}，输出都是0，即
z(x)=0,∀xz(x)=0,\forall xz(x)=0,∀x

需要注意的是这里的自然数公理体系是Peano公理下的自然数的序数理论体系。自然数有两种公理系统，基数理论与序数理论。

第二个基础函数是successor function，记为s(x)s(x)s(x)，
s(x)=x+,∀x∈N∪{0}s(x)=x^+,\forall x \in \mathbb{N} \cup \{0\}s(x)=x+,∀x∈N∪{0}

上标+^++的含义是后继，这是Peano公理引入的一个运算，它表示某个自然数的下一个自然数，比如1+=21^+=21+=2，2+=32^+=32+=3，但函数s(x)s(x)s(x)的定义域是自然数集加0，所以我们额外再定义0+=10^+=10+=1。

第三个基础函数是identity function，记为idinid^n_iidin，它满足
idin(x1,⋯,xn)=xiid^n_i(x_1,\cdots,x_n)=x_iidin(x1,⋯,xn)=xi

这个函数也叫projection function；这三个函数叫基础函数，因为他们都只需要一次运算就能得到结果。

三类创造可计算的新函数的方法

上面三种基础函数的作用是与现在要介绍的函数操作一起用于扩展effectively computable function。

复合函数

复合是我们非常熟悉的函数操作，它可以用我们熟悉的函数合成新的函数。如果用effectively computable function通过复合组成新的函数，那么新的函数也是可计算的。我们用下面的记号表示复合，
h=Cn[f,g1,⋯,gm]h=Cn[f,g_1,\cdots,g_m]h=Cn[f,g1,⋯,gm]

它的含义是
h(x1,⋯,xn)=f(g1(x1,⋯,xn),⋯,gm(x1,⋯,xn))h(x_1,\cdots,x_n)=f(g_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,g_m(x_1,\cdots,x_n))h(x1,⋯,xn)=f(g1(x1,⋯,xn),⋯,gm(x1,⋯,xn))

例1 常值函数
用constn(x)=nconst_n(x)=nconstn(x)=n表示常值函数，它把任意输入xxx映射为nnn，我们可以用复合的思路说明所有常值函数是可计算的：
const0=zconst1=Cn[s,z]⋯constn+1=Cn[s,constn]const_0=z \\ const_1 = Cn[s,z] \\ \cdots \\ const_{n+1} = Cn[s,const_n]const0=zconst1=Cn[s,z]⋯constn+1=Cn[s,constn]

第一个等式非常直接，我们验证一下第二个等式，
Cn[s,z]=s(z)=s(0)=0+=1C_n[s,z]=s(z)=s(0)=0^+=1Cn[s,z]=s(z)=s(0)=0+=1

我们验证一下最后一个等式，
Cn[s,constn]=s(constn)=n+=n+1Cn[s,const_n]=s(const_n)=n^+=n+1Cn[s,constn]=s(constn)=n+=n+1

于是通过复合的手段，我们可以用基础函数说明常值函数可计算。

Primitive Recursive

Primitive Recursion指的是下面的递归过程：
h(x,0)=f(x)h(x,y+)=g(x,y,h(x,y))h(x,0)=f(x) \\ h(x,y^+)=g(x,y,h(x,y))h(x,0)=f(x)h(x,y+)=g(x,y,h(x,y))

我们记h=Pr[f,g]h=Pr[f,g]h=Pr[f,g]。可以用Primitive Recursive得到和、积、阶乘等运算：

例2 Primitive Recursive的应用

sum=Pr[id11,Cn[s,id33]]sum=Pr[id_1^1,Cn[s,id_3^3]]sum=Pr[id11,Cn[s,id33]]
prod=Pr[z,Cn[sum,id13,id33]]prod=Pr[z,Cn[sum,id^3_1,id_3^3]]prod=Pr[z,Cn[sum,id13,id33]]
fac=Cn[Pr[const1,Cn[prod,id33,id23]],id,id]fac=Cn[Pr[const_1,Cn[prod,id_3^3,id_2^3]],id,id]fac=Cn[Pr[const1,Cn[prod,id33,id23]],id,id]

证明
1、在序数理论中，定义加法的思路是引入两个方程：a+1=a+,a+b+=(a+b)+a+1=a^+,a+b^+=(a+b)^+a+1=a+,a+b+=(a+b)+，这里的自然数包含了0，因此定义加法需要a+0=a,a+b+=(a+b)+a+0=a,a+b^+=(a+b)^+a+0=a,a+b+=(a+b)+，所以要验证第一个等式只需要验证加法对这两个等式成立：
a+0=sum(a,0)=id11(a)=aa+b+=sum(a,b+)=Cn[s,id33](a,b,sum(a,b))=s(id33(a,b,sum(a,b)))=s(sum(a,b))=s(a+b)=(a+b)+a+0=sum(a,0)=id_1^1(a)=a \\ a+b^+=sum(a,b^+)=Cn[s,id_3^3](a,b,sum(a,b)) \\=s(id_3^3(a,b,sum(a,b))) =s(sum(a,b))=s(a+b)=(a+b)^+a+0=sum(a,0)=id11(a)=aa+b+=sum(a,b+)=Cn[s,id33](a,b,sum(a,b))=s(id33(a,b,sum(a,b)))=s(sum(a,b))=s(a+b)=(a+b)+

2、在叙述理论中，定义乘法的思路是引入两个方程：a⋅1=a,a⋅b+=a⋅b+aa \cdot 1=a,a \cdot b^+=a \cdot b+aa⋅1=a,a⋅b+=a⋅b+a，这里的自然数包含了0，所以我们需要额外说明a⋅0=0a \cdot 0=0a⋅0=0，所以要验证第二个等式只需要说明它满足这三个方程：
a⋅0=prod(a,0)=z(a)=0a⋅1=prod(a,1)=Cn[sum,id13,id33](a,0,prod(a,0))=Cn[sum,id13,id33](a,0,0)=sum(id13(a,0,0),id33(a,0,0))=sum(a,0)=aa⋅b+=prod(a,b+)=Cn[sum,id13,id33](a,b,prod(a,b))=sum(id13(a,b,prod(a,b)),id33(a,b,prod(a,b)))=sum(a,prod(a,b))=a+a⋅ba \cdot 0=prod(a,0)=z(a)=0 \\ a \cdot 1 = prod(a,1)=Cn[sum,id^3_1,id_3^3](a,0,prod(a,0)) \\ = Cn[sum,id^3_1,id_3^3](a,0,0)=sum(id_1^3(a,0,0),id_3^3(a,0,0)) \\ = sum(a,0)=a \\ a \cdot b^+ = prod(a,b^+)=Cn[sum,id^3_1,id_3^3](a,b,prod(a,b)) \\ = sum(id_1^3(a,b,prod(a,b)),id_3^3(a,b,prod(a,b))) \\ = sum(a,prod(a,b))=a+a \cdot ba⋅0=prod(a,0)=z(a)=0a⋅1=prod(a,1)=Cn[sum,id13,id33](a,0,prod(a,0))=Cn[sum,id13,id33](a,0,0)=sum(id13(a,0,0),id33(a,0,0))=sum(a,0)=aa⋅b+=prod(a,b+)=Cn[sum,id13,id33](a,b,prod(a,b))=sum(id13(a,b,prod(a,b)),id33(a,b,prod(a,b)))=sum(a,prod(a,b))=a+a⋅b

阶乘的构造就留给读者自行证明了，需要只需要按定义说明：
0!=fac(0)=1n!=fac(n)=n⋅(n−1)!0!=fac(0)=1 \\ n! = fac(n)=n \cdot (n-1)!0!=fac(0)=1n!=fac(n)=n⋅(n−1)!

即可。

Minimization

Minimization的作用是减少输入的个数，假设fff是一个有n+1n+1n+1个输入的函数，记h=Mn[f]h=Mn[f]h=Mn[f]，其中
h(x1,⋯,xn)={y,iff(x1,⋯,xn,y)=0or∀t<y,∃f(x1,⋯,xn,t)≠0undefined,ifnosuchyh(x_1,\cdots,x_n)=\begin{cases} y,\ if\ f(x_1,\cdots,x_n,y)=0\ or\\ \forall t<y,\exists f(x_1,\cdots,x_n,t) \ne 0 \\ \\ undefined,\ if \ no\ such\ y \end{cases}h(x1,⋯,xn)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧y, if f(x1,⋯,xn,y)=0 or∀t<y,∃f(x1,⋯,xn,t)=0undefined, if no such y

如果fff可计算，那么hhh是可计算的。