数据结构探险之图篇

什么是图？

如下图：无向图 & 有向图
箭头分方向。
无向图中每条认为有来有回两条线

无向图&有向图

图中的概念：

有向图中的概念

结点称为顶点。

之间的线称为弧。
弧尾和弧头（箭头）。
从顶点发出去和射入的。
出度：一个顶点发射出去的。& 入度：一个顶点射入的。

无向图中的概念

顶点 & 边

连线着的两个结点称为邻接点。

连通图

任意两个图之间都是直接或间接联通的。也就是存在路径

完全图

任意两个结点之间都有路径相互连接。就是完全图。

生成树

任意两个结点只有一个边，边数为n-1

图的表示法 & 图的遍历 & 最小生成树。

图的应用

图的基本概念及存储方式（一）

图的存储结构：

图的存储结构

无向图是由边 & 顶点组成的。有向图是由弧 & 顶点组成

图的存储结构：

邻接矩阵（数组）
邻接表（链表）有向
十字链表（链表）有向
邻接多重表（链表）无向

弧尾&权值&弧头

邻接矩阵（数组）

有向图邻接矩阵

有弧用1，没弧用0。自身不能到自身

无向图邻接矩阵

主对角线对称。只记录一半

邻接矩阵定义为二维数组

顶点与图的结构体表示

邻接表-链式存储

通过一个顶点索引，找到出弧链表头指针。然后找到下一个节点。下一个节点又可以找到出弧。

链式存储

弧指针，1代表索引。2代表索引。说明v1既有弧指向v2又有指向v3。又有指向v4。

v2 没有出度直接指向NULL
v3 有一条指向v4的弧。
v4 有指向v1的边。

邻接表记录出弧，逆邻接表记录入弧的
弧头改为弧尾。

数据结构代码体现：

弧代码体现

struct Map
{顶点数组;
};

十字链表-链式存储

十字链表表示法

十字链表弧表示

十字链表节点表示

struct Map
{顶点数组;
};

邻接多重表-链式存储（无向图）

邻接多重表-无向图

邻接多重表数据结构表示

图的遍历

深度优先搜索
广度优先搜索

图的深度 & 广度

深度：a-b-c-e-f-d-g-h(前序遍历：根左右)

去掉成环的边

广度优先搜索：一层一层搜索

丢弃两条边

不同的遍历方式形成不同的生成树。

最小生成树

权重 & 最小生成树

有a.b.c.e.f六个城市修路，权值为成本。a修到b，不如a-f-b
希望得到的结果是如右图

最小生成树算法：

普里姆（Prim）算法
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

Prim算法基本思想

先有一个点的集合。这个点的集合是纳入最小生成树的点的集合，

还要有一个边的集合。这个边的集合也是纳入最小生成树的边的集合
待选边集合：当我们选定一个顶点，该顶点可以走的边的集合

假设从a开始做最小生成树。从a出去有三条待选边。a-b（6）、a-f(1)、a-e(5)。在待选边集合中找到权值最小的边。

a-f再次选择

将a-f所有的边都归入待选边集合中。再次选取最小权值边。

b纳入点集合

循环结果

最终点变成全集。边集合就成了最小连接边的集合。生成最小生成树。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

克鲁斯卡尔算法

把所有边放入待选边集合中。在所有边中选取一条权值最小的边。
把该边放入已选边集合中，选定了边就是选定了涉及的点。
然后载待选边集合中选次小的边。f-b/d-e权值为2都可以选。
判断有没有和原来的边形成闭环。形成闭环就抛弃掉该边

两个集合

选出f-d边之后。两集合变成一个集合。

要求

所有的点被涉及，并且已经纳入同一个集合。