解题笔记（15）——几个栈和递归的问题

本文介绍了几个栈和递归的问题，当然递归的本质就是栈。这些问题网上都能找到解答，自己思考并实现了一下，供网友参考。

问题1：跳台阶问题。具体描述，一个台阶总共有n级，如果一次可以跳1级，也可以跳2级。求总共有多少总跳法，并分析算法的时间杂度。

思路：简单分析一下，这道题不难。假设f(n)为问题的解，从后往前推，最后一跳有两种情况，一是跳1级，二是跳2级，可以得出这个式子 f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=2。递归实现如下，当然也可以用迭代。

参考代码：

//函数功能 ： 跳台阶问题
//函数参数 ： n为台阶个数
//返回值 ：   总的跳法
unsigned JumpSteps_Solution1(unsigned n)
{if(n <= 2)return n;else return JumpSteps_Solution1(n - 1) + JumpSteps_Solution1(n - 2);
}unsigned JumpSteps_Solution2(unsigned n)
{if(n <= 2)return n;unsigned sum = 0;unsigned f1 = 1, f2 = 2;for(unsigned i =3; i <= n; i++){sum = f1 + f2; //f(n) = f(n-2) + f(n-1)f1 = f2;       //f(n-2) = f(n-1)f2 = sum;      //f(n-1) = f(n)}return sum;
}

问题2：栈的push、pop序列。具体描述，输入两个整数序列。其中一个序列表示栈的push顺序，判断另一个序列有没有可能是对应的pop顺序。为了简单起见，我们假设push序列的任意两个整数都是不相等的。

比如输入的push序列是1、2、3、4、5，那么4、5、3、2、1就有可能是一个pop系列。因为可以有如下的push和pop序列：
push 1，push 2，push 3，push 4，pop，push 5，pop，pop，pop，pop，这样得到的pop序列就是4、5、3、2、1。
但序列4、3、5、1、2就不可能是push序列1、2、3、4、5的pop序列。

思路：用一个辅助栈。依次检查push序列的每个元素，如果该元素不等于pop序列的当前元素，则将这个元素压栈；如果相等，则检查push序列的下一个元素，同时pop序列的当前元素往前移1个。最后将辅助栈中的元素退栈，并与pop序列进行比较。最后辅助栈的元素为空，并且pop序列的当前位置为最后元素的下一个位置，则这个序列是pop序列。

参考代码：

//函数功能 ： 栈的push、pop序列
//函数参数 ： pPush为push序列，pPop为pop序列，nLength为序列长度
//返回值 ：   是否成立
bool IsPossiblePopOrder(const int* pPush, const int* pPop, int nLength)
{stack<int> helpStack; //定义一个辅助栈int i = 0, j = 0;//将push序列的元素压栈while(i < nLength){if(pPush[i] == pPop[j]) //相等，pop序列往前移动1j++;elsehelpStack.push(pPush[i]);i++;}//将栈中剩余元素退栈while(!helpStack.empty()){if(helpStack.top() == pPop[j]){helpStack.pop();j++;}elsebreak;}return helpStack.empty() ? true : false;
}

问题3：二元树的深度。输入一棵二元树的根结点，求该树的深度。从根结点到叶结点依次经过的结点（含根、叶结点）形成树的一条路径，最长路径的长度为树的深度。例如：输入二元树：

10
                                          /     \
                                        6        14
                                      /         / \
                                    4         12     16

输出该树的深度3。二元树的结点定义如下：

struct SBinaryTreeNode // a node of the binary tree
{
      int               m_nValue; // value of node
      SBinaryTreeNode  *m_pLeft;  // left child of node
      SBinaryTreeNode  *m_pRight; // right child of node
};

思路：这是一道关于树的题目。很多树的问题都是用递归解决的。比如“解题笔记（4）——把二元查找树转变成排序的双向链表”、“解题笔记（6）——在二元树中找出和为某一值的所有路径（树）”、“解题笔记（7）——判断整数序列是不是二元查找树的后序遍历结果”等。这个问题也不例外，只要递归求结点的左右子树的深度，树的深度为 = 1 + max{ 根节点左子树深度，根结点右子树深度}。

参考代码：

//函数功能 ： 二元树的深度
//函数参数 ： pNode指向树的结点
//返回值 ：   深度
int BinaryTreeDepth(BinaryTreeNode *pNode)
{if(pNode == NULL)return 0;else{int leftDepth = BinaryTreeDepth(pNode->m_pLeft);int rightDepth = BinaryTreeDepth(pNode->m_pRight);return (leftDepth > rightDepth) ? leftDepth+1 : rightDepth+1;}
}

问题4：颠倒栈。用递归颠倒一个栈。例如输入栈{1, 2, 3, 4, 5}，1在栈顶。颠倒之后的栈为{5, 4, 3, 2, 1}，5处在栈顶。

思路：这道题纯粹是为了加深递归的理解。用两个递归来做。

参考代码：

//函数功能 ： 颠倒栈
//函数参数 ： 要颠倒的栈
//返回值 ：   无
template<typename T>
void ReverseStack(stack<T> &srcStack)
{if(!srcStack.empty()){T tmp = srcStack.top();srcStack.pop();ReverseStack(srcStack);AddtoStackBottom(srcStack, tmp); //放到栈底}
}
template<typename T>
void AddtoStackBottom(stack<T> &srcStack, T x)
{if(srcStack.empty()){srcStack.push(x);}else{T tmp = srcStack.top();srcStack.pop();AddtoStackBottom(srcStack, x);srcStack.push(tmp);}
}

问题5：设计包含min函数的栈。定义栈的数据结构，要求添加一个min函数，能够得到栈的最小元素。要求函数min、push以及pop的时间复杂度都是O(1)。

思路：利用双栈来做。一个栈用于正常的入栈退栈，称为Stack1，另外一个用于保存栈的最小元素，称为Stack2。Stack2入栈时，将入栈元素与Stack2的栈顶元素比较，如果小于栈顶元素，则两个栈同时执行入栈操作。Stack1退栈时，如果退栈元素与Stack2的栈顶元素相等，则两个栈同时执行出栈操作。下面是一个简单的实现。

参考代码：

template<class T>
class MinStack
{
public:MinStack();~MinStack();bool Empty() const; //判断栈是否为空void Push(T value); //压栈void Pop();         //退栈T& Top();const T& Top() const;const T& Min() const;
private:stack<T> m_comStack; //正常栈stack<T> m_minStack; //最小栈
};
template<class T>
MinStack<T>::MinStack()
{
}
template<class T>
MinStack<T>::~MinStack()
{
}
template<class T>
bool MinStack<T>::Empty() const
{return m_comStack.empty();
}
template<class T>
void MinStack<T>::Push(T value)
{if(m_minStack.empty() || value <= m_minStack.top())m_minStack.push(value);m_comStack.push(value);
}
template<class T>
void MinStack<T>::Pop()
{if(m_minStack.top() == m_comStack.top())m_minStack.pop();m_comStack.pop();
}
template<class T>
const T& MinStack<T>::Min() const
{return m_minStack.top();
}
template<class T>
T& MinStack<T>::Top()
{m_comStack.top();
}
template<class T>
const T& MinStack<T>::Top() const
{m_comStack.top();
}

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