实验：高次插值的龙格现象（Runge）实验

题目：高次插值的龙格现象

目的：观察高次插值的龙格现象（即振荡现象）

要求：
f(x)=11+25x2f(x)=\frac1{1+25x^2}f(x)=1+25x21，x∈[−1,1]x∈[-1,1]x∈[−1,1]

写出f(x)f(x)f(x)的5次、10次、20次拉格朗日插值多项式，并在同一坐标系下画出三者的图像，观察高次插值的龙格现象（振荡现象）

代码：

主程序：

clear all;clc;
x=[-1:0.01:1];x1=[-1:2/5:1];
y1=1./(1+25*x1.^2);
yy1=lagrange(x1,y1,x);
plot(x,yy1,'-r')%红色实线axis([-1 1 -10 10])
hold onx2=[-1:2/10:1];
y2=1./(1+25*x2.^2);
yy2=lagrange(x2,y2,x);
plot(x,yy2,'-k')%黑色实线
hold onx3=[-1:2/20:1];
y3=1./(1+25*x3.^2);
yy3=lagrange(x3,y3,x);
plot(x,yy3,'-b')%蓝色实线
hold on
legend('5 interpolation','10 interpolation ','20 interpolation');
title('拉格朗日插值','FontSize',15,'FontName','Microsft YaHei UI')

拉格朗日函数（lagrange）：
拉格朗日函数放在资源链接里了，需要的自取：https://download.csdn.net/download/didi_ya/29668816

结果图像：
当不设置y轴坐标范围时，默认为[-60,10]，其图像如下：

我们发现，很难看出三种插值的区别，因此我们必须对坐标轴区域进行设置。

将y轴坐标范围为[-10,10]时，其图像如下：

进一步缩小y轴坐标范围到[-5,5]，其图像如下：

上图就尽可能直观的显示出了三者的显示情况，以及比较明显的反映出了高次插值的龙格现象。

输出结果：

5次拉格朗日插值多项式：
p=(125∗x4)/104−(45∗x2)/26+59/104p = (125*x^4)/104 - (45*x^2)/26 + 59/104p=(125∗x4)/104−(45∗x2)/26+59/104

10次拉格朗日插值多项式：
p=−(390625∗x10)/1768+(109375∗x8)/221−(51875∗x6)/136+(54525∗x4)/442−(3725∗x2)/221+1p = -(390625*x^{10})/1768 + (109375*x^8)/221 - (51875*x^6)/136 + (54525*x^4)/442 - (3725*x^2)/221 + 1p=−(390625∗x10)/1768+(109375∗x8)/221−(51875∗x6)/136+(54525∗x4)/442−(3725∗x2)/221+1

20次拉格朗日插值多项式：

p=(19531250000000∗x20)/75068617−(75976562500000∗x18)/75068617+(425781250000∗x16)/259753−(6371757812500∗x14)/4415801+(514466015625∗x12)/679354−(666444328125∗x10)/2717416+(435552910625∗x8)/8831602−(216170060575∗x6)/35326408+(70691550125∗x4)/150137234−(1812417625∗x2)/75068617+1p = (19531250000000*x^{20})/75068617 - (75976562500000*x^{18})/75068617 + (425781250000*x^{16})/259753 - (6371757812500*x^{14})/4415801 + (514466015625*x^{12})/679354 - (666444328125*x^{10})/2717416 + (435552910625*x^8)/8831602 - (216170060575*x^6)/35326408 + (70691550125*x^4)/150137234 - (1812417625*x^2)/75068617 + 1p=(19531250000000∗x20)/75068617−(75976562500000∗x18)/75068617+(425781250000∗x16)/259753−(6371757812500∗x14)/4415801+(514466015625∗x12)/679354−(666444328125∗x10)/2717416+(435552910625∗x8)/8831602−(216170060575∗x6)/35326408+(70691550125∗x4)/150137234−(1812417625∗x2)/75068617+1

其显示结果如图所示：

参考：
https://wenku.baidu.com/view/66d7fc9e6f1aff00bfd51e0f.html

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