数值分析：研究高次插值的龙格现象

2024-06-09 05:40:21

1 实验目的

研究高次插值的龙格现象。考虑函数在某区间范围内，构造拉格朗日插值多项式L(x)，分别画出不同n值下的拉格朗日插值函数。

2 实验内容

2.1 实验1.1

研究高次插值的龙格现象。考虑函数在[-1,1]上取n+1个等距节点。构造拉格朗日插值多项L(x)。

（1）分别画出n=2,4,6,8,10,12,16,20的拉格朗日插值函数和函数。

（2）画出n=2,4,6,8,10,12,16,20情况下的分段线性插值函数图形。

3 实验知识点

3.1 拉格朗日插值法

3.2 matlab曲线拟合工具

4 算法思想

拉格朗日插值公式的基本思想是把Pn（x）的构造问题转化为n+1个插值函数li(x)(i=0,1,2...n)。利用节点直接构造如下多项式：

其中，πn+1(x)=（x-x0）(x-x1)...(x-xn), πn+1(x)=（xi-x0）(xi-xi-1)(xi-xi+1)...(xi-xn)

因此，n项多项式具有以下性质：

，即满足差值条件。

我们称Ln(x)为拉格朗日插值多项式，li(x)称为拉格朗日差值及函数。

5 实验代码

5.1.1

代码

for n=2:2:12

subplot(2,3,n/2)

syms x;

f=1/(1+25*x^2);

x1=sym(zeros(n+1));

W=sym(ones(n+1));

L=sym(0);

for i=0:n

x1(i+1)=-1+2*i/n;

end

for j=0:n

for i=0:n

if i~=j

w=(x-x1(i+1))/(x1(j+1)-x1(i+1));

W(j+1)=W(j+1)*w;

end

end

L=L+W(j+1)*(1/(1+25*x1(j+1)^2));

end

LL(n)=simplify(L);

x=-1:0.02:1;

y1=subs(f,x);

y2=subs(L,x);

plot(x,y1,'b');hold on;

plot(x,y2,'r');hold off;

title(['原函数f(x)=1/(1+25*x^2)与',num2str(n),'次插值函数']);

xlabel('x');ylabel('y');

legend('原函数','插值函数');

grid on

End

结果:

5.2 画出n=2,4,6,8,10,12,16,20情况下的分段线性插值函数图形

代码：

clc

clear

syms x0 y x n

a=1;

for n=[2,4,6,8,10,12,16,20]

x = linspace(-1,1,n+1);

y = 1./(1+25.*(x.^2));

x0 = -1:0.001:1;

In = interp1(x,y,x0) %分段插值

subplot(4,2,a)

plot(x,y,'ro',x0,In,'b')

grid on

legend ('节点','分段插值函数')

ylabel('In(x)');

a=a+1

End

结果

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