非线性扰动观测器(NDOB)

干扰观测器是控制中非常常见的一种方法，本节推导的是一种简单的非线性干扰观测器NDOB

朴素NDOB观测器

假设非线性系统方程为
x ˙ = f ( x ) + g 1 ( x ) u + g 2 ( x ) d y = h ( x ) \begin{align} \dot x &= f(x) + g_1(x)u + g_2(x)d \nonumber\\ y &= h(x) \nonumber \end{align} x˙y=f(x)+g1(x)u+g2(x)d=h(x)
其中 d d d 为扰动， u u u 为控制量，我们期望对扰动进行估计，不妨假设扰动为 d ^ \hat d d^ ,那么扰动的估计误差为
d ~ = d − d ^ \tilde d = d - \hat d d~=d−d^
对扰动误差 d ~ \tilde d d~ 求导，可得（这里注意，我们对真实扰动没有一点先验知识，这里最不失一般性的假设就是，她的导数为0）：
d ~ ˙ = d ˙ − d ^ ˙ = − d ^ ˙ \dot {\tilde d} = \dot d - \dot {\hat d} = - \dot {\hat d} d~˙=d˙−d^˙=−d^˙
为了让 d ~ \tilde d d~ 尽快收敛，我们可以命令其等于如下形式
d ~ ˙ = − d ^ ˙ = − l ( x ) g 2 ( x ) d ~ \dot {\tilde d} = - \dot {\hat d} =-l(x)g_2(x){\tilde d} d~˙=−d^˙=−l(x)g2(x)d~
上面这个等式是我们人为设计的一种 d ~ \tilde d d~ 的趋近律，也就是我们希望扰动的估计误差如何趋近于0，我们可以任意选择 l ( x ) l(x) l(x) ,只要保证上面的误差估计趋近于0即可。

基于上述的趋近律，我们带入到非线性系统方程可以得到：
d ^ ˙ = l ( x ) g 2 ( x ) d ~ = l ( x ) g 2 ( x ) ( d − d ^ ) = l ( x ) ( g 2 ( x ) d − g 2 ( x ) d ^ ) = l ( x ) ( x ˙ − f ( x ) − g 1 ( x ) u − g 2 ( x ) d ^ ) = l ( x ) ( x ˙ − f ( x ) − g 1 ( x ) u ) − l ( x ) g 2 ( x ) d ^ \begin{split} \dot {\hat d} &= l(x)g_2(x){\tilde d} \\ &= l(x) g_2(x) (d - {\hat d}) \\ &= l(x) (g_2(x)d - g_2(x){\hat d}) \\ &= l(x) (\dot x - f(x) - g_1(x)u - g_2(x){\hat d}) \\ &= l(x) (\dot x - f(x) - g_1(x)u) - l(x)g_2(x){\hat d} \end{split} d^˙=l(x)g2(x)d~=l(x)g2(x)(d−d^)=l(x)(g2(x)d−g2(x)d^)=l(x)(x˙−f(x)−g1(x)u−g2(x)d^)=l(x)(x˙−f(x)−g1(x)u)−l(x)g2(x)d^
上面我们就推导了最为朴素的非线性扰动观测器，但是我们发现，这个扰动观测器需要用到 x ˙ \dot x x˙ 这一项，很明显，大多数系统都不可能得到这项的观测，所以这个观测器需要做一些改进。

改进NDOB观测器

最朴素的把 x ˙ \dot x x˙ 消掉的思路就是，在观测器的左右两遍同时减去 l ( x ) x ˙ l(x)\dot x l(x)x˙:
d ^ ˙ − l ( x ) x ˙ = l ( x ) ( − f ( x ) − g 1 ( x ) u ) − l ( x ) g 2 ( x ) d ^ \dot {\hat d} - l(x)\dot x = l(x) (- f(x) - g_1(x)u) - l(x)g_2(x){\hat d} d^˙−l(x)x˙=l(x)(−f(x)−g1(x)u)−l(x)g2(x)d^
这样公式的右侧就没有 x ˙ \dot x x˙ 这一项了，我们对等式的左右两边进行积分：
p ( x ) = ∫ l ( x ) x ˙ d x d ^ − p ( x ) = ∫ l ( x ) ( − f ( x ) − g 1 ( x ) u ) − l ( x ) g 2 ( x ) d ^ d x \begin{align} p(x) &= \int l(x)\dot x \ \text d x\nonumber\\ \hat d - p(x) &= \int {l(x) (- f(x) - g_1(x)u) - l(x)g_2(x){\hat d}} \ \text d x\nonumber \end{align} p(x)d^−p(x)=∫l(x)x˙ dx=∫l(x)(−f(x)−g1(x)u)−l(x)g2(x)d^ dx
设置一个中间变量 z = d ^ − p ( x ) z=\hat d - p(x) z=d^−p(x) ，那么对 z z z 进行求导可以得到：
z ˙ = l ( x ) ( − f ( x ) − g 1 ( x ) u ) − l ( x ) g 2 ( x ) d ^ = l ( x ) ( − f ( x ) − g 1 ( x ) u ) − l ( x ) g 2 ( x ) ( z + p ( x ) ) = l ( x ) [ − f ( x ) − g 1 ( x ) u + g 2 ( x ) p ( x ) ] − l ( x ) g 2 ( x ) z \begin{align} \dot z &= l(x) (- f(x) - g_1(x)u) - l(x)g_2(x){\hat d}\nonumber \\ &= l(x) (- f(x) - g_1(x)u) - l(x)g_2(x)(z + p(x))\nonumber \\ &= l(x) [- f(x) - g_1(x)u + g_2(x)p(x)] - l(x)g_2(x)z\nonumber \\ \end{align} z˙=l(x)(−f(x)−g1(x)u)−l(x)g2(x)d^=l(x)(−f(x)−g1(x)u)−l(x)g2(x)(z+p(x))=l(x)[−f(x)−g1(x)u+g2(x)p(x)]−l(x)g2(x)z
上面是一个针对中间变量 z z z 的观测器，有了 z z z 以后，扰动估计量 d ^ \hat d d^ 也可以很容易得到:
d ^ = z + p ( x ) \hat d = z + p(x) d^=z+p(x)
这里我们实现了扰动的观测，还遗留了一个最重要的问题， p ( x ) p(x) p(x) 是什么，刚才我们假设了 p ( x ) = ∫ l ( x ) x ˙ d t p(x) = \int l(x)\dot x \ \text d t p(x)=∫l(x)x˙ dt，所以也存在了如下的关系：
l ( x ) = ∂ p ( x ) ∂ x → d p ( x ) d t = l ( x ) x ˙ l(x) = {\frac {\partial p(x)} {\partial x}} \to {\frac {\text d p(x)} {\text d t}} = l(x)\dot x l(x)=∂x∂p(x)→dtdp(x)=l(x)x˙
如何确定 p ( x ) p(x) p(x) 呢？有两种方式，一种是先选定 l ( x ) l(x) l(x) ，然后对 x x x 积分，求 p ( x ) p(x) p(x) 。另一种方式则是，先自由选定 p ( x ) p(x) p(x) ，但是 l ( x ) l(x) l(x) 则必须满足上述关系。

李雅普诺夫证明稳定性

假设李雅普诺夫函数
V = 1 2 d ~ 2 V=\frac {1} {2} \tilde d ^ 2 V=21d~2
对其求导，之前我们就假设了扰动的导数为0，即这个扰动是一个常数，反正波动不会很大
V ˙ = d ~ d ~ ˙ = d ~ ( d ˙ − d ^ ˙ ) = − d ~ d ^ ˙ \dot V = \tilde d \dot {\tilde d} = \tilde d (\dot d - \dot {\hat d}) = - \tilde d \dot {\hat d} V˙=d~d~˙=d~(d˙−d^˙)=−d~d^˙
其中
d ^ ˙ = z ˙ + p ˙ ( x ) = z ˙ + l ( x ) x ˙ = l ( x ) [ − f ( x ) − g 1 ( x ) u + g 2 ( x ) p ( x ) ] − l ( x ) g 2 ( x ) z + l ( x ) x ˙ = l ( x ) [ − f ( x ) − g 1 ( x ) u + g 2 ( x ) p ( x ) ] − l ( x ) g 2 ( x ) z + l ( x ) ( f ( x ) + g 1 ( x ) u + g 2 ( x ) d ) = l ( x ) g 2 ( x ) p ( x ) − l ( x ) g 2 ( x ) z + l ( x ) g 2 ( x ) d = l ( x ) g 2 ( x ) ( p ( x ) − z + d ) = l ( x ) g 2 ( x ) d ~ \begin {align} \dot {\hat d} &= \dot z + \dot p(x) \nonumber\\ &= \dot z + l(x){\dot x} \nonumber\\ &= l(x) [- f(x) - g_1(x)u + g_2(x)p(x)] - l(x)g_2(x)z + l(x){\dot x} \nonumber\\ &= l(x) [- f(x) - g_1(x)u + g_2(x)p(x)] - l(x)g_2(x)z + l(x)(f(x) + g_1(x)u + g_2(x)d )\nonumber \\ &= l(x)g_2(x)p(x) - l(x)g_2(x)z + l(x)g_2(x)d \nonumber\\ &= l(x)g_2(x)(p(x) - z + d) \nonumber\\ &= l(x)g_2(x){\tilde d}\nonumber \end {align} d^˙=z˙+p˙(x)=z˙+l(x)x˙=l(x)[−f(x)−g1(x)u+g2(x)p(x)]−l(x)g2(x)z+l(x)x˙=l(x)[−f(x)−g1(x)u+g2(x)p(x)]−l(x)g2(x)z+l(x)(f(x)+g1(x)u+g2(x)d)=l(x)g2(x)p(x)−l(x)g2(x)z+l(x)g2(x)d=l(x)g2(x)(p(x)−z+d)=l(x)g2(x)d~
所以
V ˙ = − d ~ d ^ ˙ = − d ~ l ( x ) g 2 ( x ) d ~ = − l ( x ) g 2 ( x ) d ~ 2 = − 2 l ( x ) g 2 ( x ) d ~ 2 \begin {align} \dot V &= - \tilde d \dot {\hat d}\nonumber \\ &= -{\tilde d} l(x)g_2(x){\tilde d}\nonumber \\ &= -l(x)g_2(x){\tilde d}^2\nonumber \\ &= -2l(x)g_2(x){\tilde d}^2\nonumber \\ \end {align} V˙=−d~d^˙=−d~l(x)g2(x)d~=−l(x)g2(x)d~2=−2l(x)g2(x)d~2
**定理1：**若李雅普诺夫满足以下等式，则系统稳定
V ˙ ≤ − K V λ ; K , λ > 0 \dot V \le -KV^{\lambda} \ ;K,\lambda > 0 V˙≤−KVλ ;K,λ>0
所以系统稳定

实际的控制例子

一个二阶系统如下
x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = − k ∣ x 2 ∣ x 2 + b u + d \begin{align} \dot x_1 &= x_2\nonumber \\ \dot x_2 &= -k|x_2|x_2+bu+d\nonumber \\ \end{align} x˙1x˙2=x2=−k∣x2∣x2+bu+d
其中 x 1 x_1 x1 代表位置， x 2 x_2 x2 代表速度， u u u 是控制量， d d d 代表扰动。
{ f ( x ) = − k ∣ x 2 ∣ x 2 g 1 ( x ) = b g 2 ( x ) = 1 \begin{cases} f(x) = -k|x_2|x_2 \nonumber\\ g_1(x) = b\nonumber \\ g_2(x) = 1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧f(x)=−k∣x2∣x2g1(x)=bg2(x)=1

设计 l ( x ) = c l(x) = c l(x)=c ，则有
p ( x ) = c x 2 p(x) = cx_2 p(x)=cx2
定义中间变量为 z = d ^ − p ( x ) z=\hat d-p(x) z=d^−p(x) ,于是扰动观测器的形式为
z ˙ = − l ( x ) g 2 ( x ) z − l ( x ) [ f ( x ) + g 1 ( x ) u + g 2 ( x ) p ( x ) ] = − c z − c ( − k ∣ x 2 ∣ x 2 + b u + c x 2 ) d ^ = z + p ( x ) = z + c x 2 \begin{align} \dot z &= -l(x)g_2(x)z-l(x)[f(x)+g_1(x)u+g_2(x)p(x)]\nonumber\\ &=-cz-c(-k|x_2|x_2 + bu + cx_2) \nonumber\\ \hat d &= z+p(x)=z+cx_2\nonumber \end{align} z˙d^=−l(x)g2(x)z−l(x)[f(x)+g1(x)u+g2(x)p(x)]=−cz−c(−k∣x2∣x2+bu+cx2)=z+p(x)=z+cx2

注意

干扰必须是有界的，否则定理1将不成立，如果只参考结论的话，可以只看最后一个结论