通俗易懂玩高数（3）—— Cauchy中值定理的证明

老规矩，先来说下什么是Cauchy中值定理：

定理定义：

已知f(x), g(x)在闭区间[a,b]上连续，在(a,b)上可导，

且g’(x)在区间上非0
必定存在 a<ξ<b, 令 f’(ξ) / g’(ξ) = ( f(b) - f(a) ) / ( g(b) - g(a) )

在思考证明思路前，先让我们了解一下这个定理的几何意义，在我看来，定理证明都是从几何意义上入手，在最开始时，我自己推理这个定理的几何意义时，可费脑筋了，想了半天，还从微分、积分的角度上思考，没辙，还是一百度，发现居然是从参数方程上入手，吐！

几何意义：

若令

，这个形式可理解为参数方程，而

则是连接参数曲线两端点弦的斜率，

表示曲线上某点处切线的斜率，在定理的条件下，结论可理解如下：

用参数方程表示的曲线上至少有一点，在这一点处的切线平行于连接两个端点的弦。

证明过程：

在知道几何意义后，证明就可以对症下药。

这里其实可以借鉴拉格朗日中值定理的证明思路，如果想证明一条直线存在平行线与曲线相切，可以用曲线减去直线，得到的式子若有斜率为0的点，则成立。证明如下图：

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