极化码：基于单项式码的极化码部分序(Partial Order)表示

前言
极化码：极化码的单项式码(Monomial Codes)表示

正文
极化码的部分序(Partial Order)表示极化子信道的固定可靠度排序顺序。
给定极化子信道单项式
f=x0a0x1a1⋯xn−1an−1,f = x_0^{a_0}x_1^{a_1}\cdots x_{n-1}^{a_{n-1}}, f=x0a0x1a1⋯xn−1an−1,设ind(f){\rm ind}(f)ind(f)表示Ω=[0,n−1]={0,1,⋯,n−1}\Omega = [0, n-1] = \{0,1,\cdots, n-1\}Ω=[0,n−1]={0,1,⋯,n−1}的排序子集，即ind(f)={i∣ai=1,i=0,1,⋯,n−1}{\rm ind}(f) = \{i|a_i = 1,i = 0,1,\cdots, n-1\}ind(f)={i∣ai=1,i=0,1,⋯,n−1}。

对于两个极化子信道单项式fff和ggg，f≽gf \succcurlyeq gf≽g表示fff的可靠度大于ggg。

那么具有相同多项式度rrr的fff和ggg，有
f≽g⇔ind(f)j≤ind(g)j,∀j=0,1,⋯,r−1.f \succcurlyeq g \Leftrightarrow {\rm ind}(f)_j \le {\rm ind}(g)_j, \forall j = 0,1,\cdots,r-1. f≽g⇔ind(f)j≤ind(g)j,∀j=0,1,⋯,r−1.
对于不同多项式度的fff和ggg，有
f≽g⇔∃g∗∣g,且deg(g∗)=deg(f)和f≽g∗.f \succcurlyeq g \Leftrightarrow \exists g^*|g,且deg(g^*) = deg(f)和f \succcurlyeq g^*. f≽g⇔∃g∗∣g,且deg(g∗)=deg(f)和f≽g∗.其中，g∗∣gg^*|gg∗∣g表示g∗g^*g∗是ggg的因子。

参考文献
[1] M. Bardet, V. Dragoi, A. Otmani and J. -P. Tillich, “Algebraic properties of polar codes from a new polynomial formalism,” 2016 IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT), 2016, pp. 230-234.
[2] M. Geiselhart, A. Elkelesh, M. Ebada, S. Cammerer and S. ten Brink, “On the Automorphism Group of Polar Codes,” 2021 IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT), 2021, pp. 1230-1235.

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