两个有序数组的中位数

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

如果数组a的中位数小于数组b的中位数，那么整体的中位数只可能出现在a的右区间加上b的左区间之中；
如果数组a的中位数大于等于数组b的中位数，那么整体的中位数只可能出现在a的左区间加上b的右区间之中。

关键就是利用分治的思想逐渐缩小a的区间和b的区间来找到中位数。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)
{  //always assume that m is equal or smaller than n  if (m > n)  return findKth(b, n, a, m, k);  if (m == 0)  return b[k - 1];  if (k == 1)  return min(a[0], b[0]);  //divide k into two parts  int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;  if (a[pa - 1] < b[pb - 1])  return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);  else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])  return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);  else  return a[pa - 1];
}  class Solution
{
public:  double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n)  {  int total = m + n;  if (total & 0x1)  return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);  else  return (findKth(A, m, B, n, total / 2)  + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;  }
};

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