1. 配方法

用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情况：

情形1：如果二次型f(x1,x2,x3,⋯,xn){f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }f(x1 , x2 , x3 , ⋯ , xn)含某平方项，如 x₁的平方项，且 a11≠0{a\mathop{{}}\nolimits_{{11}}\text{ } \neq \text{ }0}a11 = 0 ，则合并二次型中含 x₁ 的所有交叉项，然后与 x₁² 配方，并作非退化线性变换为：

y1=c11x1+c12x2+⋯+cnnxny2=x2⋮yn=xn{y\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ }=\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{11}}x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ }+\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{12}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ }+\text{ } \cdots \text{ }+\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{nn}}x\mathop{{}}\nolimits_{{n}}}\\ {y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}}\\ { \vdots }\\ {y\mathop{{}}\nolimits_{{n}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{n}}}y1 = c11x1 + c12x2 + ⋯ + cnnxny2 = x2⋮yn = xn

得 f=d1y12+g(y2,⋯,yn){f\text{ }=\text{ }d\mathop{{}}\nolimits_{{1}}y\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ }+\text{ }g \left( y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }f = d1y12 + g(y2 , ⋯ , yn) , 其中 g(y2,⋯,yn){g \left( y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }g(y2 , ⋯ , yn) 是 y2,⋯,yn{y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}}}y2 , ⋯ , yn 的二次型。对于 g(y2,⋯,yn){g \left( y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }g(y2 , ⋯ , yn) 重复上述方法，直到化为二次型 f 为标准形为止。

例1：f(x1,x2,x3,x4){f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{4}} \right) }f(x1 , x2 , x3 , x4) = x12+4x1x2−2x1x4+3x22−{x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}-2x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{4}}+3x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}-}x12+4x1x2−2x1x4+3x22−2x2x3−6x2x4+2x3x4+4x42{2x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}-6x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{4}}+2x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}x\mathop{{}}\nolimits_{{4}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{4}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}2x2x3−6x2x4+2x3x4+4x42 用配方法将上式化为标准形，并写出所作的非退化线性变换及其矩阵。

注：此题中它的标准形为 f=z12−z22+z32{f=z\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}-z\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+z\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}f=z12−z22+z32,它还是四元二次型，只是z42{z\mathop{{}}\nolimits_{{4}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}z42的系数为零，所作的线性变换式(2)必须有 y₄ = z₄ 项，否则不是非退化线性变换。

情形2：如果二次型f(x1,x2,x3,⋯,xn){f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }f(x1 , x2 , x3 , ⋯ , xn)不含平方项，即 a_ij=0，但含某一个 a_ij ≠ 0（i ≠ j），则可做非退化线性变换

x_i = y_i + y_j
x_j = y_i - y_j , (k=1,2,….,n ; k ≠ i , j)
x_k = y_k

把 f 化为一个含有平方项 y_i² 的二次型，再用情形1的方法将其化为标准形。

例2：f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3{f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}+x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}+x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\right. \right. }f(x1 , x2 , x3)=x1x2+x1x3+x2x3,用配方法将此式化为标准形，并写出所用的非退化线性变换。

2. 初等变换法

初等变换法如下：

第一步写出二次型的矩阵 A，并构造 2n×n 矩阵 (AE){A \choose E}(EA)
对 A 进行初等行变换和同样的初等列变换（不可交换两行或两列的位置），把A化为对角矩阵D，并对E施行与A相同的初等列变换（切记E并不进行初等行变换），将E化为矩阵C，此时 C’AC = D
第三步写出非退化线性变换 x = Cy，化二次型为标准形 f = y’Dy

补充，若第一步构造 n×2n矩阵 (A E)，则第二步将A化为对角矩阵D，并对E施行与A相同的初等行变换，将E化为矩阵C，此时C不是我们需要的非退化矩阵！！！对矩阵C进行转置得到矩阵F = C’ ，此时矩阵F才是我们求的非退化矩阵！ F’AF = D

例3：用非退化线性替换化 f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+{f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+2x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}+\right. \right. }f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x32{2x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}2x22+4x2x3+4x32 为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

3. 正交变换法

主轴定理：任给二次型f=∑i,j=1naijxixj(aij=aji){f={\mathop{ \sum }\limits_{{i,j=1}}^{{n}}{a\mathop{{}}\nolimits_{{ij}}x\mathop{{}}\nolimits_{{i}}x\mathop{{}}\nolimits_{{j}}\text{ } \left( a\mathop{{}}\nolimits_{{ij}}=a\mathop{{}}\nolimits_{{ji}} \right) }}}f=i,j=1∑naijxixj (aij=aji),总有正交变换 x = Py，使 f 化为标准形 f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2{{f= \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{1}}y\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+ \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{2}}y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}+ \cdots + \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{n}}y\mathop{{}}\nolimits_{{n}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2 ，其中 λ1,λ2,⋯,λn{ \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{1}}, \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{2}}, \cdots , \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{n}}}λ1,λ2,⋯,λn 是矩阵 A = (a_ij) 的特征值

步骤如下：

写出二次型的矩阵 A
求出 A 的特征值，得λ1,λ2,⋯,λn{ \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{1}}, \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{2}}, \cdots , \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{n}}}λ1,λ2,⋯,λn
求出对应的特征向量
将特征向量作施密特正交变换，得到正交的特征向量
将正交的特征向量单位化
将这些单位化向量排成矩阵，得到正交矩阵 Q

例4：用正交变换化二次型为标准形，并求出所用的正交变换f(x1,x2,x3)=x12+4x22+x32{f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\right. \right. }f(x1,x2,x3)=x12+4x22+x32−4x1x2−8x1x3−4x2x3{-4x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}-8x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}-4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}}−4x1x2−8x1x3−4x2x3

4. 偏导数法

例5：将二次型 f(x1,x2,x3)=−4x1x2+2x1x3+2x2x3{f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =-4x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}+2x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}+2x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\right. \right. }f(x1,x2,x3)=−4x1x2+2x1x3+2x2x3 化为标准形，并写出所作的非退化线性变换。

5. 顺序主子式法

这种方法限制很大，第一：二次型的前n-1个顺序主子式可能出现0。第二：该方法不能直接算出非退化的变换矩阵。

例6：将二次型 f(x1,x2,x3)=x12+5x1x2−4x2x3{f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+5x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}-4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\right. \right. }f(x1,x2,x3)=x12+5x1x2−4x2x3 化为标准形。

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