二次型化标准形的三种方法

将二次型化为标准形有利于我们了解二次型的简单形式、二次型的各种参数如正负惯性指数、得到二次型的规范形、对称矩阵合同的简单形等等。另外，化标准形也是解析几何化简二次曲线和二次曲面的需要。

下面，我们以两道题目为例说明计算二次型的标准形的三种方法：

• 配方法
• 合同变换法
• 特征值法

第一题

例1 计算二次型 X T A X = x 1 2 + 5 x 2 2 + 5 x 3 2 + 2 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 \displaystyle X^TAX=x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3 XTAX=x12​+5x22​+5x32​+2x1​x2​−4x1​x3​的标准形.

方法一：配方法

配方法的要领是：第一次将所有含有 x 1 x_1 x1​的项集中到一起，进行配方，从而消掉含有 x 1 x_1 x1​的交叉项，第二次将含有 x 2 x_2 x2​的项集中到一起进行配方……直到去掉所有的交叉项.

解：将含有 x 1 \displaystyle x_1 x1​的项集中起来进行配方：

X T A X = x 1 2 + 2 x 1 ( x 2 − 2 x 3 ) + 5 x 2 2 + 5 x 3 2 X^TAX=x_1^2+2x_1(x_2-2x_3)+5x_2^2+5x_3^2 XTAX=x12​+2x1​(x2​−2x3​)+5x22​+5x32​

= ( x 1 + x 2 − 2 x 3 ) 2 − ( x 2 − 2 x 3 ) 2 + 5 x 2 2 + 5 x 3 2 =(x_1+x_2-2x_3)^2-(x_2-2x_3)^2+5x_2^2+5x_3^2 =(x1​+x2​−2x3​)2−(x2​−2x3​)2+5x22​+5x32​

= ( x 1 + x 2 − 2 x 3 ) 2 + 4 x 2 2 + x 3 2 + 4 x 2 x 3 =(x_1+x_2-2x_3)^2+4x_2^2+x_3^2+4x_2x_3 =(x1​+x2​−2x3​)2+4x22​+x32​+4x2​x3​

= ( x 1 + x 2 − 2 x 3 ) 2 + ( 2 x 2 + x 3 ) 2 =(x_1+x_2-2x_3)^2+(2x_2+x_3)^2 =(x1​+x2​−2x3​)2+(2x2​+x3​)2

= y 1 2 + y 2 2 , =y_1^2+y_2^2, =y12​+y22​,

其中，非退化线性替换为：

{ x 1 + x 2 − 2 x 3 = y 1 2 x 2 + x 3 = y 2 x 3 = y 3 , \begin{cases} x_1+x_2-2x_3&=&y_1\\ \quad \quad \quad 2x_2+x_3&=&y_2\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad x_3&=&y_3\end{cases}, ⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+x2​−2x3​2x2​+x3​x3​​===​y1​y2​y3​​,

即，

{ x 1 = y 1 − 1 2 y 2 + 5 2 y 3 x 2 = 1 2 y 2 − 1 2 y 3 x 3 = y 3 □ \begin{cases}x_1&=&y_1-\frac{1}{2}y_2+\frac{5}{2}y_3\\x_2&=& \frac{1}{2}y_2-\frac{1}{2}y_3\\ x_3&=&y_3\end{cases}\quad\quad\square ⎩⎪⎨⎪⎧​x1​x2​x3​​===​y1​−21​y2​+25​y3​21​y2​−21​y3​y3​​□

方法二：合同变换法

解：
[ 1 1 − 2 1 5 0 − 2 0 5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] → − r 1 + r 2 [ 1 1 − 2 0 4 2 − 2 0 5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1&1&-2\\1&5&0\\-2&0&5\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\xrightarrow{-r_1+r_2}\begin{bmatrix}1&1&-2\\0&4&2\\-2&0&5\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​11−2100​150010​−205001​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​−r1​+r2​ ​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​10−2100​140010​−225001​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

→ − c 1 + c 2 [ 1 0 − 2 0 4 2 − 2 2 5 1 − 1 0 0 1 0 0 0 1 ] → 2 r 1 + r 3 [ 1 0 − 2 0 4 2 0 2 1 1 − 1 0 0 1 0 0 0 1 ] \xrightarrow{-c_1+c_2}\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&4&2\\-2&2&5\\1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\xrightarrow{2r_1+r_3}\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&4&2\\0&2&1\\1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} −c1​+c2​ ​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​10−2100​042−110​−225001​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​2r1​+r3​ ​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​100100​042−110​−221001​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

→ 2 c 1 + c 3 [ 1 0 0 0 4 2 0 2 1 1 − 1 2 0 1 0 0 0 1 ] → − 1 2 r 2 + r 3 [ 1 0 0 0 4 2 0 0 0 1 − 1 2 0 1 0 0 0 1 ] \xrightarrow{2c_1+c_3}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&2\\0&2&1\\1&-1&2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\xrightarrow{-\frac{1}{2}r_2+r_3}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&2\\0&0&0\\1&-1&2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} 2c1​+c3​ ​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​100100​042−110​021201​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​−21​r2​+r3​ ​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​100100​040−110​020201​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

→ − 1 2 c 2 + c 3 [ 1 0 0 0 4 0 0 0 0 1 − 1 5 2 0 1 − 1 2 0 0 1 ] \xrightarrow{-\frac{1}{2}c_2+c_3}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&0\\1&-1&\frac{5}{2}\\0&1&-\frac{1}{2}\\0&0&1\end{bmatrix} −21​c2​+c3​ ​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​100100​040−110​00025​−21​1​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

所以，标准形为，

X T A X = y 1 2 + 4 y 2 2 . X^TAX=y_1^2+4y_2^2. XTAX=y12​+4y22​.

非退化线性替换矩阵为，

C = [ 1 − 1 5 2 0 1 − 1 2 0 0 1 ] . □ C=\begin{bmatrix}1&-1&\frac{5}{2}\\0&1&-\frac{1}{2}\\0&0&1\end{bmatrix}.\quad\square C=⎣⎡​100​−110​25​−21​1​⎦⎤​.□

方法三：特征值法

解：令

A = [ 1 1 − 2 1 5 0 − 2 0 5 ] . A=\begin{bmatrix}1&1&-2\\1&5&0\\-2&0&5\end{bmatrix}. A=⎣⎡​11−2​150​−205​⎦⎤​.

由矩阵的特征多项式

∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − 1 − 1 2 − 1 λ − 5 0 2 0 λ − 5 ∣ |\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&2\\-1&\lambda-5&0\\2&0&\lambda-5\end{vmatrix} ∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣​λ−1−12​−1λ−50​20λ−5​∣∣∣∣∣∣​

= 2 r 2 + r 3 ∣ λ − 1 − 1 2 − 1 λ − 5 0 0 2 ( λ − 5 ) λ − 5 ∣ \overset{2r_2+r_3}{=}\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&2\\-1&\lambda-5&0\\0&2(\lambda-5)&\lambda-5\end{vmatrix} =2r2​+r3​∣∣∣∣∣∣​λ−1−10​−1λ−52(λ−5)​20λ−5​∣∣∣∣∣∣​

= − 2 c 3 + c 2 ∣ λ − 1 − 5 2 − 1 λ − 5 0 0 0 λ − 5 ∣ \overset{-2c_3+c_2}{=}\begin{vmatrix}\lambda-1&-5&2\\-1&\lambda-5&0\\0&0&\lambda-5\end{vmatrix} =−2c3​+c2​∣∣∣∣∣∣​λ−1−10​−5λ−50​20λ−5​∣∣∣∣∣∣​

按照第三行展开得，

= ( λ − 5 ) ( λ 2 − 6 λ ) =(\lambda-5)(\lambda^2-6\lambda) =(λ−5)(λ2−6λ)

得到 A \displaystyle A A的特征值为0，5，6.

此时，得到二次型 X T A X X^TAX XTAX的标准形为，

X T A X = 5 y 1 2 + 6 y 2 2 . □ X^TAX=5y_1^2+6y_2^2. \quad\quad \square XTAX=5y12​+6y22​.□

注：（1）由于二次型的标准形不唯一，所以三种方法得到的结果都不一样。
（2）由于只要求标准形，所以第三种方法所使用的正交变换我们省去不求了，到时专门就“使用正交变换化二次型为标准形”写一篇文章介绍。

第二题

例2 计算二次型 X T A X = − 4 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 X^TAX=-4x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3 XTAX=−4x1​x2​+2x1​x3​+2x2​x3​的标准形.

由于这道题目没有平方项，所以在使用配方法和合同变换法的时候需要先处理一下，以便化为例1的情况进行求解。特征值法与例1相同，所以不再赘述。

简要解答：

方法一：配方法

分析：为了得到一个平方项，可以将 x 1 x_1 x1​设为两数之和，将 x 2 x_2 x2​设为这两数之差.

解： 作非退化线性替换，

{ x 1 = y 1 + y 2 x 2 = y 1 − y 2 x 3 = y 3 , \begin{cases}x_1=y_1+y_2\\x_2=y_1-y_2\\x_3=y_3\end{cases}, ⎩⎪⎨⎪⎧​x1​=y1​+y2​x2​=y1​−y2​x3​=y3​​,

X T A X = − 4 y 1 2 + 4 y 2 2 + 4 y 1 y 3 , X^TAX=-4y_1^2+4y_2^2+4y_1y_3, XTAX=−4y12​+4y22​+4y1​y3​,

下面的步骤与例1同.

方法二：合同变换法

分析：为了将左上角变出一个非零元，可以考虑将第二行（或者第三行）加到第一行，同时将第二列（或者第三列）加到第一列.

解：

[ 0 − 2 1 − 2 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] → r 3 + r 1 [ 1 − 1 1 − 2 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}0&-2&1\\-2&0&1\\1&1&0\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\xrightarrow{r_3+r_1}\begin{bmatrix}1&-1&1\\-2&0&1\\1&1&0\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​0−21100​−201010​110001​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​r3​+r1​ ​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​1−21100​−101010​110001​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

→ c 3 + c 1 [ 2 − 1 1 − 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 ] \xrightarrow{c_3+c_1}\begin{bmatrix}2&-1&1\\-1&0&1\\1&1&0\\1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{bmatrix} c3​+c1​ ​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​2−11101​−101010​110001​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

下面的步骤与例1同.

---

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