软阈值(soft-thresholding)函数
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题目:软阈值(Soft Thresholding) 函数解读
1、软阈值(Soft Thresholding)函数的符号
软阈值(Soft Thresholding)目前非常常见,文献【1】【2】最早提出了这个概念。软阈值公式的表达方式归纳起来常见的有三种,以下是各文献中的软阈值定义符号:
文献【1】式(12):
文献【2】:
文献【3】:
文献【4】式(8):
文献【5】式(1.5):
文献【6】式(12)注释:
文献【7】:
其中文献【1】【2】【3】【5】是第一种,也是最常见的一种;文献【4】【6】是第二种,个人认为可读性比第一种要好;文献【7】是第三种,个人认为可读性最好。当然,它们表达的意思是一样的(无论是sgn(x)还是sign(x)都是符号函数,即当x>0时为1,当x<0时为-1):
以文献【1】符号为例解释第一种表示方式。这里w是变量,λ是阈值(非负值),符号(|w|-λ)+表示当(|w|-λ)>0时则等于|w|-λ,当(|w|-λ)<0时则等于0。那么分三种情况来讨论:第一种情况是w>λ>0,则sgn(w)=1,|w|=w,(|w|-λ)一定大于0,(|w|-λ)+=|w|-λ,所以ηS(w,λ)=w-λ;第二种情况是w<-λ<0,则sgn(w)=-1,|w|=-w,(|w|-λ)也一定大于0,(|w|-λ)+=|w|-λ,所以ηS(w,λ)=-1*(-w-λ)= w+λ;第三种情况是|w|<λ,此时(|w|-λ)一定小于0,则(|w|-λ)+=0,所以ηS(w,λ)=0。因此
以文献【6】符号为例解释第二种表示方式。这种表示方式中符号max{|u|-a,0}的作用与第一种表示方式中的符号(|w|-λ)+的作用一样,即当(|u|-a)>0时max{|u|-a,0}=(|u|-a),当(|u|-a)<0时max{|u|-a,0}=0,知道了这一点剩下的分析与第一种表示方式相同。
综上,三种表示方式均是一致的。
2、软阈值(Soft Thresholding)函数的作用
弄清楚了软阈值(Soft Thresholding)的符号表示以后,接下来说一说它的作用。以下内容主要参考了文献【7】,这是一个非常棒的PPT!!!
软阈值(SoftThresholding)可以求解如下优化问题:
其中:
根据范数的定义,可以将上面优化问题的目标函数拆开:
也就是说,我们可以通过求解N个独立的形如函数
的优化问题,来求解这个问题。由中学时代学过的求极值方法知道,可以求函数f(x)导数:
这里要解释一下变量x绝对值的导数,当x>0时,|x|=x,因此其导数等于1;当x<0时,|x|=-x,因此其导数等于-1;综合起来,x绝对值的导数等于sgn(x)。令函数f(x)导数等于0,得:
这个结果等号两端都有变量x,需要再化简一下。下面分三种情况讨论:
(1)当b>λ/2时
假设x<0,则sgn(x)=-1,所以x=b+λ/2>0,与假设x<0矛盾;
假设x>0,则sgn(x)=1,所以x=b-λ/2>0,成立;
所以此时在x=b-λ/2>0处取得极小值:
即此时极小值小于f(0),而当x<0时
即当x<0时函数f(x)为单调降函数(对任意△x<0,f(0)<f(△x))。因此,函数在x=b-λ/2>0处取得最小值。
(2)当b<-λ/2时
假设x<0,则sgn(x)=-1,所以x=b+λ/2<0,成立;
假设x>0,则sgn(x)=1,所以x=b-λ/2<0,与假设x<0矛盾;
所以此时在x=b+λ/2<0处取得极小值:
即此时极小值小于f(0),而当x>0时
即当x>0时函数f(x)为单调升函数(对任意△x>0,f(△x)>f(0))。因此,函数在x=b+λ/2<0处取得最小值。
(3)当-λ/2<b<λ/2时(即|b|<λ/2时)
假设x<0,则sgn(x)=-1,所以x=b+λ/2>0,与假设x<0矛盾;
假设x>0,则sgn(x)=1,所以x=b-λ/2<0,与假设x<0矛盾;
即无论x为大于0还是小于0均没有极值点,那么x=0是否为函数f(x)的极值点呢?
对于△x≠0,
当△x >0时,利用条件b<λ/2可得
当△x <0时,利用条件b<λ/2可得(注:此时|△x |=-△x)
因此,函数在x=0处取得极小值,也是最小值。
综合以上三种情况,f(x)的最小值在以下位置取得:
与前面的软阈值(Soft Thresholding)对比一下,发现了么?若将上式中的b视为变量,λ/2视为阈值,上式即为软阈值(SoftThresholding)的公式。
至此,我们可以得到优化问题
的解为
注:该式为软阈值(Soft Thresholding)的矩阵形式。
3、软阈值(Soft Thresholding)的变形
当优化问题变为
因为对目标函数乘一个常系数不影响极值点的获得,所以可等价为优化问题
此时的解为soft(B, λ)。
4、软阈值(Soft Thresholding)的MATLAB代码
软阈值(Soft Thresholding)的函数代码可以写成专门针对优化问题
软阈值(Soft Thresholding)是如此简单以至于可以用一句代码去实现它[8]:
当然,如果不习惯这种形式,也可以写成常见的函数形式:
function [ soft_thresh ] = softthresholding( b,lambda )soft_thresh = sign(b).*max(abs(b) - lambda/2,0);
end
一定要注意:这种写法是针对最开始的优化问题:
但我个人感觉更应该写成这种通用形式:
function [ x ] = soft( b,T )x = sign(b).*max(abs(b) - T,0);
end
如此之后,若要解决优化问题
只需调用soft(B, λ/2)即可;若要解决优化问题
只需调用soft(B, λ)即可。
5、软阈值(Soft Thresholding)测试代码
用以下一小段代码测试一下软阈值,用来求解优化问题:
这里用的对比函数是基追踪降噪(BPDN_quadprog.m),参见压缩感知重构算法之基追踪降噪(Basis PursuitDe-Noising, BPDN) (http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/52013669),使用BPDN时,实际上就是观测矩阵为单位阵时的一种特殊情况:
clear all;close all;clc;
b = [-0.8487 -0.3349 0.5528 1.0391 -1.1176]';
lambda = 1;
x1=soft(b,lambda)
x2=BPDN_quadprog(b,eye(length(b)),lambda)
fprintf('\nError between soft and BPDN = %f\n',norm(x1-x2))
这里就不给出输出结果了。运行后,观察输出结果可知,soft函数与BPDN_quadprog函数的输结果相同。
另外,可以在matlab里输入以下命令看一个软阈值的图像:
x=-5:0.1:5;T=1;y=soft(x,T);plot(x,y);grid;
6、总结
可以发现,软阈值解决的优化问题和基追踪降噪问题很像,但并不一样,而且需要格外说明的是,软阈值并能不解决基追踪降噪问题,文献【8】在最后明确说明了这一点:
近来学习研究各种算法,发现给自己挖的坑有点深,有点跳不出来了,各种问题接踵而来,各种新概念一个接着一个,而软阈值(Soft Thresholding)就是其中之一,根本没法子绕过去。在文献【6】中,作者描述软阈值(Soft Thresholding)时用的是“the well-known soft-threshold function”,好吧,还well-kown。在学习过程中文献【9】对我帮助也挺大的,但从作者的语气来看,也没有多么well-kown啊……
最后,非常感谢文献【7】的PPT,看了之后让我有一种醍醐灌顶的感觉……
7、参考文献
【1】Donoho D L, JohnstoneJ M. Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J]. Biometrika, 1994, 81(3):425-455.
【2】Donoho D L.De-noising by soft-thresholding[J]. IEEE transactions on information theory,1995, 41(3): 613-627.
【3】Bredies K, Lorenz D.Iterative soft-thresholding converges linearly[R]. Zentrum fürTechnomathematik, 2007.
【4】Bioucas-Dias J M,Figueiredo M A T. A new TwIST: two-step iterative shrinkage/thresholdingalgorithms for image restoration[J]. IEEE Transactions on Image processing,2007, 16(12): 2992-3004.
【5】Beck A, Teboulle M. Afast iterative shrinkage-thresholding algorithm for linear inverse problems[J].SIAM journal on imaging sciences, 2009, 2(1): 183-202.
【6】Wright S J, Nowak RD, Figueiredo M A T. Sparse reconstruction by separable approximation[J]. IEEETransactions on Signal Processing, 2009, 57(7): 2479-2493.
【7】谷鹄翔.IteratedSoft-Thresholding Algorithm[Report,slides]. http://www.sigvc.org/bbs/thread-41-1-2.html
【8】http://www.simonlucey.com/soft-thresholding/
【9】http://blog.sina.com.cn/s/blog_6d0e97bb01015vq3.html
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