极坐标与笛卡尔坐标

笛卡尔坐标系

极坐标系

转换

从一个系统转换到另一系统，我们用这个三角形：

笛卡尔坐标转换为极坐标

当我们知道一点的笛卡尔坐标 (x,y)(x,y)(x,y) 想转换成极坐标 (r,θ)(r,θ)(r,θ)，我们需要解一个有两条已知边的直角三角形。

例子： (12,5) 的极坐标是什么？

用勾股定理去计算长的一边（斜边）：

r2=122+52r=√(122+52)r=√(144+25)r=√(169)=13\begin{aligned} &r^2 = 122 + 52\\ &r = √ (122 + 52)\\ &r = √ (144 + 25)\\ &r = √ (169) = 13 \end{aligned}r2=122+52r=√(122+52)r=√(144+25)r=√(169)=13

用正切函数去计算角度：

tan(θ)=5/12θ=tan−1(5/12)=22.6°（精确到一位小数）\begin{aligned} &tan( θ ) = 5 / 12\\ &θ = tan-1 ( 5 / 12 ) = 22.6° （精确到一位小数）\\ \end{aligned}tan(θ)=5/12θ=tan−1(5/12)=22.6°（精确到一位小数）

答案：(12,5) 的极坐标是 (13, 22.6°)。

所以，笛卡尔坐标 (x,y)(x,y)(x,y) 转换为极坐标 (r,θ)(r,θ)(r,θ):

r=(x2+y2)r = \sqrt{ ( x^2 + y^2 )}r=(x2+y2)
θ=tan⁡−1(y/x)θ = \tan^{-1} ( y / x )θ=tan−1(y/x)

注意：当 x 或 y 是负数时，计算器可能得到错误的 tan-1 () 的值……继续看下去。

极坐标转换为笛卡尔坐标

当我们知道一点的极坐标 (r,θ)(r, θ)(r,θ)，想转换为笛卡尔坐标 (x,y)(x,y)(x,y)，我们需要解一个有已知斜边和角度的直角三角形：

例子：(13, 22.6°)的笛卡尔坐标是什么？

用 xxx 的余弦函数： cos⁡(22.6°)=x/13\cos( 22.6 °) = x / 13cos(22.6°)=x/13

重排及解：
x=13×cos(22.6°)x=13×0.923x=12.002...\begin{aligned} &x = 13 × cos( 22.6 °)\\ &x = 13 × 0.923\\ &x = 12.002...\\ \end{aligned}x=13×cos(22.6°)x=13×0.923x=12.002...

用 yyy 的正弦函数：sin⁡(22.6°)=y/13\sin( 22.6 °) = y / 13sin(22.6°)=y/13

重排及解：
y=13×sin(22.6°)y=13×0.391y=4.996……\begin{aligned} &y = 13 × sin( 22.6 °)\\ &y = 13 × 0.391\\ &y = 4.996……\\ \end{aligned}y=13×sin(22.6°)y=13×0.391y=4.996……

答案： (13, 22.6°) 的笛卡尔坐标是差不多 (12, 5)。

所以，极坐标 (r,θ)(r,θ)(r,θ) 转换为笛卡尔坐标 (x,y)(x,y)(x,y)：

x=r×cos⁡(θ)x = r × \cos( θ )x=r×cos(θ)
y=r×sin⁡(θ)y = r × \sin( θ )y=r×sin(θ)

但如果 X 和 Y 是负数呢？

总结

极坐标 (r,θ)(r,θ)(r,θ) 转换为笛卡尔坐标 (x,y)(x,y)(x,y)：

x=r×cos⁡(θ)x = r × \cos( θ )x=r×cos(θ)
y=r×sin⁡(θ)y = r × \sin( θ )y=r×sin(θ)

笛卡尔坐标 (x,y)(x,y)(x,y) 转换为极坐标 (r,θ)(r,θ)(r,θ):

r=(x2+y2)r = \sqrt{ ( x^2 + y^2 )}r=(x2+y2)
θ=tan⁡−1(y/x)θ = \tan^{-1} ( y / x )θ=tan−1(y/x)

tan⁡−1(y/x)\tan^{-1}( y/x )tan−1(y/x) 可能需要调整：

象限 I: 用计算器的值
象限 II: 加 180°
象限 III: 加 180°
象限 IV: 加 360°

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