文章目录

  • 计算步骤
    • 草图
      • 积分区域对称性
      • 被积函数奇偶性/对称性
      • 轮换对称
    • 坐标系
    • 积分次序
    • 积分限
  • 多元函数奇偶性
    • 定义域
    • 函数形式
      • 一元函数
      • 二元函数
    • 例
      • 二元一次绝对值方程对应的草图

计算步骤

  • 为了方便讨论,二重积分表达式:

    • ∬Df(x,y)dx\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x D∬​f(x,y)dx

    • 被积分的二元函数记为g=f(x,y)g=f(x,y)g=f(x,y)

草图

  • 绘制积分区域D的草图,尝试从多元函数奇偶性的角度化简计算

    • 讨论奇偶性函数的判断必然蕴含某个区间(区域)内函数是关于某个轴对称的前提条件

积分区域对称性

  • 判断积分区域是否具有对称性

    • 如果积分区域不队称,那么纵然被积函数是再怎么对称也没用

      • 但是,有时可以通过划分区域,得到关于多个坐标轴分别对称的两个子区域
      • 这时候就可以再次尝试对称性(考虑被积分函数的奇偶性)
      • 特比是被积函数本身具有自然定义域内的奇偶性,
        • 那么很可能可以通过分割给定积分区域的来简化求解
    • 相应的,对于重积分,我们只关心积分区间(区域)内是否具有对称性,而不一定要求自然定义域也具有对称性
    • 对于与二重积分,记:将可以充当积分区域对称轴的那一条轴记为k=0对于与二重积分,记:将可以充当积分区域对称轴的那一条轴记为k=0对于与二重积分,记:将可以充当积分区域对称轴的那一条轴记为k=0
      • k轴∈{x轴,y轴}k轴\in\set{x轴,y轴}k轴∈{x轴,y轴}
      • 另外:如果有多条可以作为对称轴,那么分别记为k1=0,k2=0,ki∈{x,y}另外:如果有多条可以作为对称轴,那么分别记为k_1=0,k_2=0,k_i\in\set{x,y}另外:如果有多条可以作为对称轴,那么分别记为k1​=0,k2​=0,ki​∈{x,y}

被积函数奇偶性/对称性