赫夫曼树(最优二叉树)

1. 简介

定义： 赫夫曼树是n个带权叶子结点构成的所有二叉树中，带权路径长度(WPL)最小的二叉树。

叶子结点的带权路径： 叶子结点权值*到根节点的路径长度(叶结点的层数)

树的带权路径长度WPL(weighted path length)：树中所有叶子结点的带权路径长度之和。

举个栗子：

如上图：WPL=3*2+5*2+8*2+9*2=50

问题： 将以上由[3,5,8,9]为叶子节点二叉树变成一棵赫夫曼树(也需要3/5/8/9为叶子结点)

思考：从赫夫曼树的定义可知-需要WPL最小，所以我们要将权值小的叶子结点放在下面，大的放在上面

构造赫夫曼树的方法：

令集合 T{3,5,8,9}，

a. 选出权值最小的两个结点(即3和5) 作为左右子树构造新的树，

将新结点的权值设置为左右两结点值之和，如下图

b.在集合中删除选出的两个结点值，增加新结点的值T{8,8,9}

c.重复以上步骤，直到最后集合中只剩下一个元素为止，最后得到以下的一棵树：

这样就构造出了一棵赫夫曼树，也就是我们的最优二叉树

2. 代码实现

结点类 Node.java

//赫夫曼树
public class Node implements Comparable<Node>{int value;Node left;Node right;public Node(int value) {this.value = value;}//重写方法-实现排序@Overridepublic int compareTo(Node o) {return this.value-o.value;}
}

赫夫曼树类：HuffmanTree.java

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;public class HuffmanTree {//测试赫夫曼树public static void main(String[] args) {int[] arr={3,5,8,9};Node huffmanTree = createHuffmanTree(arr);System.out.println("创建的赫夫曼树的头结点权值："+huffmanTree.value);}//传入数组创建一个赫夫曼树，返回创建赫夫曼树的头结点public static Node createHuffmanTree(int[] arr){//将数组中的数据变成二叉树(只有一个结点)，存到集合中List<Node> nodes = new ArrayList<>();for(int value:arr){nodes.add(new Node(value));}//循环，当集合中只有一个元素时，这个元素就是我们需要的赫夫曼树while(nodes.size()>1){//排序集合Collections.sort(nodes);//选出根节点权值最小的两颗树Node left=nodes.get(nodes.size()-1);Node right=nodes.get(nodes.size()-2);//将这两棵子树创建新的树，权值为子树之和Node parent = new Node(left.value + right.value);//将两个子树连接到新树上面parent.left=left;parent.right=right;//从集合中移除则两棵子树nodes.remove(left);nodes.remove(right);//增加新创建的树到集合nodes.add(parent);}//返回赫夫曼树头结点return nodes.get(0);}
}

结果：

创建的赫夫曼树的头结点权值：25

后面将介绍赫夫曼编码以及编码/解码还有用赫夫曼树进行文件压缩和解压

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