B-、B树详解及模拟实现

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B-、B树详解及模拟实现
- 一、B-树
- 二、B树
- - 1.性质
  - 2.特性解释
  - 3.B树的插入操作
  - 4. B树的删除操作
  - 5.B树摸拟实现

一、B-树

B-树就是B树

二、B树

1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一种适用于外查找的树，它是 一种平衡的多叉树。

1.性质

（关键字就是存储的数据）

一棵M阶B树(balanced tree of order m)是一棵平衡的M路搜索树。它或者是空树，或者是满足 下列性质 的树：

1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；
2.根结点的儿子数为[2, M]；
3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2,M]；
4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）
5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；
6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；即2从左往右是递增的
7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
8.所有叶子结点位于同一层；

如：M == 3

B树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；

2.特性解释

B树的特性：

1.关键字（数据）集合分布在整颗树中；
2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
3.搜索有可能在非叶子结点结束；
4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；
5.自动层次控制；
6.仍然遵循跟节点的左子树的值都比跟节点的值小，跟节点右子树的值都比跟节点大
7.一个节点有多个关键字、有多个孩子，但是每个节点的孩子数量始终比关键字的数量多1个（因为对于每个关键字都有左右指针）
8.跟节点的关键字数量[1,m - 1],孩子数量[2,m]
9.M阶就代表最多有M个孩子，也就是M叉树
10.非跟节点关键字的数量[M / 2 - 1,M - 1]，孩子的数量[M / 2,M],(M / 2向上取整)
由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为：

其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；
所以B树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；
由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；

3.B树的插入操作

步骤：
1、插入一个元素时，首先在B树中是否存在，如果不存在，即比较大小寻找插入位置，在叶子结点处结束，然后在叶子结点中插入该新的元素
2、如果叶子结点空间足够，这里需要向右移动该叶子结点中大于新插入关键字的元素，如果空间满了以致没有足够的空间去添加新的元素，则将该结点进行“分裂”，将一半数量的关键字元素分裂到新的其相邻右结点中，中间关键字元素上移到父结点中（当然，如果父结点空间满了，也同样需要“分裂”操作）
3、当结点中关键元素向右移动了，相关的指针也需要向右移。如果在根结点插入新元素，空间满了，则进行分裂操作，这样原来的根结点中的中间关键字元素向上移动到新的根结点中，因此导致树的高度增加一层
下面以5阶B树为例，介绍B树的插入操作，在5阶B树中，非跟结点最多有4个key,最少有2个key
a）在空树中插入39

此时根结点就一个key，此时根结点也是叶子结点
b）继续插入22，97和41

根结点此时有4个key
c）继续插入53

插入后超过了最大允许的关键字个数4，所以以key值为41为中心进行分裂，结果如下图所示，分裂后当前结点指针指向父结点，满足B树条件，插入操作结束。当阶数m为偶数时，需要分裂时就不存在排序恰好在中间的key，那么我们选择中间位置的前一个key或中间位置的后一个key为中心进行分裂即可。

d）依次插入13，21，40，同样会造成分裂，结果如下图所示。

e）依次插入30，27, 33 ；36，35，34 ；24，29，结果如下图所示。
f）插入key值为26的记录，插入后的结果如下图所示。
当前结点需要以27为中心分裂，并向父结点进位27，然后当前结点指向父结点，结果如下图所示。
进位后导致当前结点（即根结点）也需要分裂，分裂的结果如下图所示。

分裂后当前结点指向新的根，此时无需调整。
g）最后再依次插入key为17,28,29,31,32的记录，结果如下图所示。

4. B树的删除操作

删除操作是指，根据key删除记录，如果B树中的记录中不存对应key的记录，则删除失败。
1）如果当前需要删除的key位于非叶子结点上，则用后继key（这里的后继key均指后继记录的意思）覆盖要删除的key，然后在后继key所在的子支中删除该后继key。此时后继key一定位于叶子结点上，这个过程和二叉搜索树删除结点的方式类似。删除这个记录后执行第2步
2）该结点key个数大于等于Math.ceil(m / 2) - 1，结束删除操作，否则执行第3步
3）如果兄弟结点key个数大于Math.ceil(m / 2) - 1，则父结点中的key下移到该结点，兄弟结点中的一个key上移，删除操作结束。
否则，将父结点中的key下移与当前结点及它的兄弟结点中的key合并，形成一个新的结点。原父结点中的key的两个孩子指针就变成了一个孩子指针，指向这个新结点。然后当前结点的指针指向父结点，重复上第2步。

有些结点它可能即有左兄弟，又有右兄弟，那么我们任意选择一个兄弟结点进行操作即可。

下面以5阶B树为例，介绍B树的删除操作，5阶B树中，结点最多有4个key,最少有2个key
a）原始状态
b）在上面的B树中删除21，删除后结点中的关键字个数仍然大于等2，所以删除结束。
c）在上述情况下接着删除27。从上图可知27位于非叶子结点中，所以用27的后继替换它。从图中可以看出，27的后继为28，我们用28替换27，然后在28（原27）的右孩子结点中删除28。删除后的结果如下图所示。
删除后发现，当前叶子结点的记录的个数小于2，而它的兄弟结点中有3个记录（当前结点还有一个右兄弟，选择右兄弟就会出现合并结点的情况，不论选哪一个都行，只是最后B树的形态会不一样而已），我们可以从兄弟结点中借取一个key。所以父结点中的28下移，兄弟结点中的26上移,删除结束。结果如下图所示。

d）在上述情况下接着32，结果如下图。
当删除后，当前结点中只有1个key，而兄弟结点中也仅有2个key。所以只能让父结点中的30下移和这个两个孩子结点中的key合并，成为一个新的结点，当前结点的指针指向父结点。结果如下图所示。

当前结点key的个数满足条件，故删除结束。

e）上述情况下，我们接着删除key为40的记录，删除后结果如下图所示。
同理，当前结点的记录数小于2，兄弟结点中没有多余key，所以父结点中的key下移，和兄弟（这里我们选择左兄弟，选择右兄弟也可以）结点合并，合并后的指向当前结点的指针就指向了父结点。
同理，对于当前结点而言只能继续合并了，最后结果如下所示。

合并后结点当前结点满足条件，删除结束。

5.B树摸拟实现

#include<iostream>
using namespace std;template<class K,int M=3>
struct BTreeNode
{BTreeNode():_pParent(NULL), _size(0){for (size_t i = 0; i <= M; i++){_pSub[i] = NULL;}}K _key[M];BTreeNode<K, M> *_pSub[M + 1];BTreeNode<K, M> *_pParent;size_t _size;
};template<class K,int M=3>
class BTree
{typedef BTreeNode<K, M> Node;typedef Node* pNode;
public:BTree():_pRoot(NULL){}bool Insert(K& key){if (_pRoot == NULL)//无根节点{_pRoot = new Node();_pRoot->_key[0] = key;_pRoot->_size = 1;return true;}pair<pNode, int> ret = Find(key);if (ret.second >= 0)return false;pNode pCur = ret.first;pNode pSub = NULL;while (1){_Insert(pCur, key, pSub);size_t size = pCur->_size;if (size < M)return true;else{size_t mid = size >> 1;pNode tmp = new Node();for (size_t i= mid + 1; i < size; i++){tmp->_key[tmp->_size] = pCur->_key[i];tmp->_pSub[tmp->_size] = pCur->_pSub[i];if (tmp->_pSub[tmp->_size])tmp->_pSub[tmp->_size]->_pParent = tmp;tmp->_size++;}tmp->_pSub[tmp->_size] = pCur->_pSub[pCur->_size];if (tmp->_pSub[tmp->_size])tmp->_pSub[tmp->_size]->_pParent = tmp;pCur->_size -= (tmp->_size + 1); //处理sizeif (pCur == _pRoot)//如果当前结点是根结点，还需要再处理{_pRoot = new Node;_pRoot->_key[0] = pCur->_key[mid];_pRoot->_pSub[0] = pCur;pCur->_pParent = _pRoot;_pRoot->_pSub[1] = tmp;tmp->_pParent = _pRoot;_pRoot->_size = 1;return true;}else{key = pCur->_key[mid];pCur = pCur->_pParent;pSub = tmp;}}}}pair<pNode, int> Find(const K& key){pNode pCur = _pRoot;pNode pParent = NULL;while (pCur){size_t i = 0;while (i < pCur->_size){if (key == pCur->_key[i])return pair<pNode, int>(pCur, i);else if (key < pCur->_key[i])break;elsei++;}pParent = pCur;pCur = pCur->_pSub[i];}return make_pair(pParent, -1);//没找到返回-1}
private:void _Insert(pNode pCur, const K& key, pNode pSub){//直接插入的思想int end = pCur->_size - 1;while (key < pCur->_key[end] && end >= 0){pCur->_key[end + 1] = pCur->_key[end];pCur->_pSub[end + 2] = pCur->_pSub[end + 1];end--;}pCur->_key[end + 1] = key;pCur->_pSub[end + 2] = pSub;if (pSub)pSub->_pParent = pCur;pCur->_size += 1;}
private:Node *_pRoot;
};int main()
{int arr[] = { 53, 75, 139, 49, 145, 36, 101 };BTree<int> b;size_t size = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);for (size_t i = 0; i < 7; i++)b.Insert(arr[i]);return 0;
}

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