UA MATH571B 试验设计VI 随机效应与混合效应4 裂区设计

第一种统计模型
第二种统计模型

裂区设计（split-plot design）和嵌套设计（nested design）要解决的问题又不太一样。我们再来回顾一下，涉及random factor的析因设计，最简单明了的设计方法是交叉设计（crossed，每一个factor A的level都要与factor B的所有level构成一个treatment用来处理一个试验单位），这样做的好处是可以识别出单个factor的效应以及所有factor的交互效应，缺点是需要很多试验资源和试验经费。嵌套设计是对交叉设计的一种改进，为了减少试验经费的使用，在不需要探究某些因子的效应或者某些交互效应时，可以让每一个factor A的level只与factor B的部分level构成一个treatment用来处理一个试验单位。但有时我们面临的问题不是试验经费，而是试验资源/试验单位数量不足，这时就需要考虑裂区设计。

下面用一个简单的例子介绍裂区设计：要研究肥料对水稻的产量影响，考虑6种不同的水稻品种与4种不同的肥料，重复试验3次（也被叫做3个blocking）；按交叉设计的思路，一共需要6×4×3=726\times 4 \times 3 = 726×4×3=72块地，假设每平方米种25墩，每墩插4株，每一个试验单位为500株，则一共需要72×500/(4×25)=36072 \times 500 /(4 \times 25) = 36072×500/(4×25)=360平方米的试验田；如果实验室的试验田只有180平方米，那就可以考虑裂区设计，把试验田平均分为3部分（field），用来做3次重复试验，每部分面积为60平方米，然后把3部分每一部分平均分成4大块地（whole-plots），每一部分中每一块地随机施一种肥料，每块地施的肥料各不相同，将每一大块地平均分为6小块（sub-plots），每一大块地中每一小块随机种一种水稻，每块地种的水稻各不相同。尽管这样每一小块地只能种(4×25)×60/24=250(4 \times 25) \times 60/24 = 250(4×25)×60/24=250株，但如果可以对裂区设计的试验数据建立适当的统计模型，我们同样可以利用这有限的资源完成试验并得出结论。在这个例子中称肥料种类为whole-plot factor，称水稻品种为sub-plot factor。值得注意的是裂区设计中whole-plot factor和sub-plot factor是交叉的关系而不是嵌套的关系！

下面是一些结果（不想推了。。。）就简单点评一下这两种统计模型吧。还是用上面这个例子，因为whole-plot factor和sub-plot factor是交叉的关系，所以单个factor的效应以及所有factor的交互效应都可以识别出来。同时因为有replicate，所以还可以估计replicate的效应（同一块试验田不同位置用相同肥料种同一种水稻产量不一样？！），replicate与whole-plot factor和sub-plot factor的交互效应（第一种统计模型中的(rα)ij(r \alpha)_{ij}(rα)ij和(rβ)ik(r \beta)_{ik}(rβ)ik），以及这三者的交互效应（第一种统计模型中的(rαβ)ijk(r \alpha \beta)_{ijk}(rαβ)ijk）。先解释一下replicate与其他因子的交互效应，比如replicate与肥料的交互效应，它代表的是肥料对产量的效应在空间分布上的变化情况，所以我们一般称之为whole-plot error，与之类似的还有block-B interaction以及subplot error，但后面这两者，他们涉及的土地面积没有whole-plot factor大，因此根据是否要包含这两种效应就产生了两种统计模型：

第一种统计模型

第二种统计模型

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