UA MATH571B 试验设计 2k析因设计理论下

Confounding
- Blocking 222^222析因设计
- Blocking 232^323析因设计
- principal block
Fractional 2k2^k2k Design
- 23−12^{3-1}23−1 Design
- Design Resolution
- 2k−p2^{k-p}2k−p Design

这一讲介绍2k2^k2k析因设计中的blocking、confounding的概念以及分数2k2^k2k析因设计的基本原理。Blocking比较简单，当2k2^k2k析因试验有潜在的nuisance factor的时候就做blocking就可以了，在kkk个treatment factor之外再做blocking的话残差自由度就不会为0，可以做ANOVA，分析方法比较常规。

Confounding

然而还是有上一讲提到的问题，试验资源不一定能保证2k2^k2k析因设计能做重复试验，那么要保证每个block有2k2^k2k个试验单元自然也是很困难的。这时就需要Confounding技术了。Confounding的好处是能够让Blocking 2k2^k2k析因试验用2k2^k2k个试验单元完成（但每个block包含的试验单元是少于2k2^k2k的），缺点是会导致至少一个treatment effect与block effect混淆，也就是统计模型将无法识别出那个treatment effect。下面介绍对Blocking 2k2^k2k析因试验做confounding的方法。

Blocking 222^222析因设计

我们先讨论最简单的情况，假设我们要对222^222设计做Blocking，假设Block数目为2，相当于就要把只有一次试验的222^222设计的4个试验单元随机分入两个Block，每个Block会有两个试验单元。一种分法如下图所示，将effect (1),ab(1),ab(1),ab作为一个block，将a,ba,ba,b作为另一个block。

这时我们研究一下交互项AB的效应，参考UA MATH571B 试验设计V 2K析因设计简介中介绍的，可以写成
12[ab+(1)−a−b]\frac{1}{2}[ab + (1) - a - b]21[ab+(1)−a−b]

这个正好是Block effect，因此我们称AB confounded with blocks。

Blocking 232^323析因设计

假设我们要对232^323设计做Blocking，假设Block数目为2，相当于就要把只有一次试验的232^323设计的8个试验单元随机分入两个Block，每个Block会有四个试验单元。如果ABC confounded with blocks，那么我们应该将effect (1),ab,ac,bc(1),ab,ac,bc(1),ab,ac,bc作为一个block，将a,b,a,abca,b,a,abca,b,a,abc作为另一个block。

下面推导为什么应该这样分组。在UA MATH571B 试验设计III 单因素试验设计3中我们介绍了效应的线性组合与contract，在232^323析因设计中，我们可以用下面的contract表示各个treatment effect：
L=α1x1+α2x2+α3x3L = \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \alpha_3 x_3 L=α1x1+α2x2+α3x3

其中αi=0,1,xi=0,1,∀i=1,2,3\alpha_i=0,1,\ x_i = 0,1,\forall i=1,2,3αi=0,1, xi=0,1,∀i=1,2,3，i=1,2,3i=1,2,3i=1,2,3分别代表因子A,B,C，αi\alpha_iαi代表交叉相中是否加入这个因子，xi=0x_i=0xi=0表示因子是low level，xi=1x_i=1xi=1表示因子是high level。LLL是Galois域GF(2)GF(2)GF(2)上的多项式，关于Galois域的介绍可以参考UA MATH636 信息论9 有限域简介。因为ABC confounded with blocks，所以α1=α2=α3=1\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 1α1=α2=α3=1，因此
L=x1+x2+x3L = x_1 + x_2 + x_3L=x1+x2+x3

Galois域GF(p)GF(p)GF(p)上加法a+ba+ba+b的定义是(a+b)modp(a+b) \mod p(a+b)modp，所以各项treatment effect表示为
(1):L=0+0+0=0mod2a:L=1+0+0=1mod2b:L=0+1+0=1mod2c:L=0+0+1=1mod2ab:L=1+1+0=0mod2ac:L=1+0+1=0mod2bc:L=0+1+1=0mod2abc:L=1+1+1=1mod2(1): L = 0 + 0 + 0 = 0 \mod 2 \\ a: L = 1 + 0 + 0 =1 \mod 2 \\ b: L = 0 + 1+ 0 = 1 \mod 2 \\ c: L = 0 + 0 + 1 = 1 \mod 2 \\ ab: L = 1 + 1 + 0 = 0 \mod 2 \\ ac: L = 1 + 0 +1 = 0 \mod 2 \\ bc: L = 0 +1 + 1 = 0 \mod 2 \\ abc: L = 1 + 1 +1= 1 \mod 2 \\ (1):L=0+0+0=0mod2a:L=1+0+0=1mod2b:L=0+1+0=1mod2c:L=0+0+1=1mod2ab:L=1+1+0=0mod2ac:L=1+0+1=0mod2bc:L=0+1+1=0mod2abc:L=1+1+1=1mod2

根据contract的不同，将上述treatment effect分为两组，就是上图所示的结果。称包含(1)(1)(1)的block1为principal block。

principal block

之所以称包含(1)(1)(1)的block1为principal block是因为其他block包含的treatment effect可以用principal block中的treatment effect生成。下面介绍一下treatment effect的运算规则。上面介绍的contract的方法实际上给了一种treatment effect的uniquely decodable code的编码方式，比如(1)(1)(1)的是(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)，abcabcabc的是(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)。首先确定aaa在另一个block，要生成bbb可以考虑码的加法（GF(2)GF(2)GF(2)中的加法）
(1,0,0)+(1,1,0)=(0,1,0)(1,0,0)+(1,1,0) = (0,1,0)(1,0,0)+(1,1,0)=(0,1,0)

为了简化记号，我们将这个关系记为
a⋅ab=a2b=(1)b=ba \cdot ab = a^2 b = (1)b = ba⋅ab=a2b=(1)b=b

类似的可以写出另外两个treatment
a⋅ac=a2c=ca⋅bc=abca \cdot ac = a^2c = c \\ a \cdot bc = abca⋅ac=a2c=ca⋅bc=abc

注意这里指的“生成”，并不是指的treatment effect可以这样计算，而是说treatment effect的记号满足这种运算规则。treatment effect的值还是需要基于试验数据计算的。这种记号运算的规则以及编码方式比较有用。

Confounding技术能保证残差自由度不会为0，所以confounding主要是用在设计的步骤的，获得试验数据之后就按常规ANOVA的思路分析即可。

Fractional 2k2^k2k Design

这一部分讨论更穷的情况，假设试验资源甚至不够做完一组2k2^k2k设计，那就只能做半组或者1/4组了，这种试验设计叫Fractional 2k2^k2k Design。

23−12^{3-1}23−1 Design

假设我们要研究A、B、C三个factor，但我们没那么多经费去做232^323试验，只能用一般的试验资源，做一个23−12^{3-1}23−1试验。前面介绍confouding技术的时候就有这个性质，把2k2^k2k试验单元分入两个block，那么每个block中的treatment effect数目就是2k−12^{k-1}2k−1。基于confounding技术，我们可以进一步建立起把2k2^k2k设计变成2k−12^{k-1}2k−1设计的操作。前面的Blocking 232^323析因设计是把ABC confounded，这里是定义I=ABCI = ABCI=ABC，称这个式子为defining relation，需要注意的是2k−12^{k-1}2k−1不可能做得出full model的识别，只能识别出full model的一半的效应，所以推导的结果是我们要研究哪些factor的effect。

现在，基于前面介绍的effect记号的规则，我们会发现：
A=A⋅I=A⋅ABC=A2BC=BCAB=AB⋅I=AB⋅ABC=A2B2C=CA = A \cdot I = A \cdot ABC = A^2BC = BC \\ AB = AB \cdot I= AB \cdot ABC = A^2B^2C = C A=A⋅I=A⋅ABC=A2BC=BCAB=AB⋅I=AB⋅ABC=A2B2C=C

也就是说在I=ABCI = ABCI=ABC这个defining relation下，AAA和BCBCBC的因子效应是相等的，ABABAB和CCC的因子效应是相等的，称AAA和BCBCBC是alias，ABABAB和CCC是alias，当然不止这两对alias，这里不一一列举。

Design Resolution

我们称上面这种I=ABCI = ABCI=ABC的23−12^{3-1}23−1设计为resolution III design，记为2III(3−1)2_{III}^{(3-1)}2III(3−1) Design。最常用三种Design Resolution是III、IV、V的：

resolution III design：所有的单个因子的效应不会互为alias
resolution IV design：所有的单个因子的效应不会与单个因子的效应或两个因子的交互效应互为alias
resolution V design：所有的单个因子的效应或两个因子的交互效应不会与单个因子的效应或两个因子的交互效应互为alias

2k−p2^{k-p}2k−p Design

对于任意的这种分数设计，这里介绍几个设计试验的原则：

highest possible resolution
minimum aberration design

highest possible resolution的意思是能用resolution IV design，就不用resolution III design。教材有个例子挺好的，这里摘录一下：对于26−22^{6-2}26−2，we used the generators E = ABC and
F = BCD, thereby producing a design of resolution IV. This is the maximum resolution
design. If we had selected E = ABC and F = ABCD, the complete defining relation would
have been I = ABCE = ABCDF = DEF, and the design would be of resolution III. 第二个原则可以参考教材的这个例子

Notice that the defining rela-tion for design C has only one four-letter word, whereas the other designs have two or three. Thus, design C minimizes the number of words in the defining relation that are of minimum length. We call such a design a minimum aberration design.

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