Q73:蒙特•卡罗积分(Monte Carlo Integration)
73.1 基本技巧(The Basic Technique)
这5个采样点各自对应的估算值如下:
如上五部分估算值(绿色阴影面积、天蓝色阴影面积、蓝色阴影面积、紫色阴影面积、红色阴影面积)的平均值即为最终对灰色阴影部分面积的估算。
73.2 方差(Variance)
从前面的运算过程,我们可以看到用蒙特·卡罗积分公式来求积分是有误差的。“方差”就是用来定量分析这个误差的。方差用符号V表示。
73.3 重要性采样(Importance Sampling)
我们可以使用一些技巧来减小蒙特·卡罗积分的方差。
之前,我们使用的采样方式是“随机均匀分布采样”(即每一个采样点出现的概率是一样的)。
为了减小方差,我们可以使用一个函数图像形状类似于f(x)函数图像的采样密度分布。“重要性采样”的逻辑是:函数值越大的采样点对整个积分结果的贡献就越大,所以就越重要,所以在这些区域进行更高密度的采样就能得到更精确的估算值。
采样的密度用“概率密度函数(Probability Density Function)”p(x)表示,简称为pdf。
73.4 其他说明
Referrance
[1]. Kevin Suffern, Ray Tracing from theGround Up, A K Peters Ltd, 2007.
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