蒲丰投针问题和蒙特·卡罗方法

1.蒲丰投针问题

法国数学家蒲丰在18世纪提出的一种计算圆周率的方法。具体方法是首先在白纸上画满间距相等的平行直线，然后取出一把小针，每个小针的长度都小于等于平行直线的间距，将它们随机地一根根往白纸上扔，记下扔的次数和小针与平行线相交的次数，最后算出小针与平行线相交的概率。在这里我们可以通过几何概型的相关知识，求出概率可以表示为(2小针长度)/(π平行线间距)，当小针长度是平行线间距的一半时，该式为1/π。可以看出这个概率表达式与圆周率有关，所以通过该试验可以求出圆周率的近似值。

2.蒙特·卡罗方法

蒲丰投针问题是蒙特·卡罗方法的一个应用实例，同时也被视为蒙特·卡罗方法的起源。蒙特·卡罗方法，也称统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。其基本思想为当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。大数定理告诉我们，进行多次条件相同的重复试验，随机事件的频率近似于它的概率，随机中有一定的规律性。

3.蒙特·卡罗积分

关于蒙特·卡罗方法的一个重要常见应用是蒙特·卡罗积分。在实际工作生活的应用中，很多情况下涉及到复杂的积分计算，这些积分可能无法用积分公式直接计算，只能求得近似值。而涉及到复杂的多重积分时，一些近似方法也无法求得近似值，而蒙特·卡罗积分方法可以较快给出这些复杂积分的精度不是太高的近似值，满足工作生活应用的需要。通过进一步查阅学习网上相关资料，我了解到蒙特·卡罗积分方法有两种求解模型，分别是随机投点法和平均值法。
随机投点法：
我们知道对于连续性随机变量，该变量落在某一取值范围内的概率可以表示为该变量概率密度函数在这范围内的积分。即：设有连续性随机变量X，其概率密度函数为f(x),则有

现在考虑需要计算的积分为：

如果g(x)满足非负性和归一性，则可以看作连续性随机变量X的概率密度函数。因此，我们可以将该积分计算的近似值看作求连续性随机变量X落在在区间[a,b]之间的概率。而求X落在在区间[a,b]之间的概率，首先产生一系列X的随机变量值Xi，然后记录Xi落在积分区域中的次数m。进行n次试验，求得概率为

则所求积分的近似值即为

上述计算有几个注意点，首先g(x)要满足非负性和归一性，否则需要进行函数变换使其满足概率密度函数的条件。另一点是随机变量值的产生需要进行比较复杂的设计，使其满足随机变量的分布。
此方法可以推广到多重积分的近似计算。